heureka

$$\mathbf{ A = 0,5\cdot D \cdot \pi \cdot \left(D-\sqrt{D^2-d^2} \right) }$$

Für die 0,5 schreibe ich lieber $$\small{\text{$ \frac{1}{2} $}}$$ :

$$\small{\text{ $ \mathbf{ A = \frac{1}{2 } \cdot D \cdot \pi \cdot \left(D-\sqrt{D^2-d^2} \right) } $}}\\\\ \small{\text{ $ \boxed{\mathbf{ 2\cdot A = D \cdot \pi \cdot \left(D-\sqrt{D^2-d^2} \right)} } $}}\\\\$$

Jetzt löse ich die Gleichung nach D auf:

$$\small{\text{ $ \mathbf{ 2\cdot A = D^2 \cdot \pi -D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} } $}}\\\\ \small{\text{ $ \begin{array}{rcl} 2\cdot A &=& D^2 \cdot \pi -D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} \\\\ D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} &=& D^2 \cdot \pi - 2\cdot A \\\\ D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} &=& D^2 \cdot \pi - 2\cdot A \qquad | \qquad \rm{auf~beiden~Seiten~quadrieren}\\\\ ( D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} )^2 &=& (D^2 \cdot \pi - 2\cdot A)^2 \\\\ D^2 \cdot \pi^2 \cdot (D^2-d^2) &=& D^4\cdot \pi^2 - 2\cdot D^2 \cdot \pi \cdot 2\cdot A +2^2\cdot A^2\\\\ D^4 \cdot \pi^2 -D^2 \cdot \pi^2 \cdot d^2 &=& D^4\cdot \pi^2 - 2\cdot D^2 \cdot \pi \cdot 2\cdot A +2^2\cdot A^2 \qquad | \qquad \ D^4 \cdot \pi^2 \rm{~verschwindet}\\\\ -D^2 \cdot \pi^2 \cdot d^2 &=& - 2\cdot D^2 \cdot \pi \cdot 2\cdot A +2^2\cdot A^2 \\\\ 4\cdot D^2 \cdot \pi \cdot A -D^2 \cdot \pi^2 \cdot d^2 &=& 2^2\cdot A^2 \\\\ D^2 \cdot \left( 4 \cdot \pi \cdot A - \pi^2 \cdot d^2 \right) &=& 2^2\cdot A^2 \\\\ D^2 &=& \dfrac{ 2^2\cdot A^2 } { 4 \cdot \pi \cdot A - \pi^2 \cdot d^2 } \qquad | \qquad \sqrt{} \\\\ D &=& \dfrac{ 2\cdot A } { \sqrt{ 4 \cdot \pi \cdot A - \pi^2 \cdot d^2 } } \\\\ \end{array} $}}\\\\$$

Find the reciprocal of $$.\overline{2} + .\overline{6}$$ expressed as a decimal

$$\\0.\overline{2} = \dfrac{ 1 } {4.5 } \\\\ 0.\overline{6} = \dfrac{ 1 } { 1.5 } \\\\$$

so wie have:

$$\small{\text{ $ \dfrac{1} { 0.\overline{2} + 0.\overline{6} } = \dfrac{1} { \dfrac{ 1 } { 4.5 } + \dfrac{ 1 } { 1.5 } } =\dfrac{1} { \dfrac{ 1.5+4.5 } { 1.5\cdot 4.5 } } = \dfrac{ 1.5\cdot 4.5 }{ 1.5+4.5 } =\dfrac{ 6.75 }{ 6 } = 1.125 $}}$$

The area of the equilateral triangle ABE = sin60⁰(cm²). Line segment AI = 5cm. BF = EF ; find the area DEGHI.

AI = 5 cm

$$\mathbf{ \sin{(60\ensurement{^{\circ}})} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} }\\ \mathbf{ \overline{AB} = \overline{BE} = \sqrt{2} \qquad \overline{BF} = \overline{EF} =\frac{ \sqrt{2}} {2} }\\ \mathbf{ \overline{AF} = \sqrt{2} \cdot \sin{(60\ensurement{^{\circ}})} = \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{3} }\\ \mathbf{ \overline{FI}= \overline{AI} - \overline{AF} = 5- \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{3} }\\$$

If the perpendicular of H is $$\small{\text{$H_0$}}$$ on line ED:

$$\mathbf{ \overline{BE} : \overline{HH_0} = 1 : \dfrac{2}{3}\qquad \overline{ED} : \overline{EH_0} = 1 : \dfrac{2}{3} }\\ \mathbf{ \overline{EH_0} = \dfrac{2}{3} \cdot ( \overline{AI} - \overline{AF} )\qquad \overline{HH_0} = \dfrac{2}{3} \cdot \overline{BE} }\\$$

The area DEGHI = A:

$$\small{\text{ $ \mathbf{ 2\cdot A =\dfrac{2}{3}\cdot (\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot ( \dfrac{2}{3}\cdot \overline{BE} )+ \dfrac{1}{3}\cdot (\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot ( \dfrac{2}{3}\cdot \overline{BE} - \overline{BF} )+\textcolor[rgb]{1,0,0}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot (\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \overline{BF} } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ 2\cdot A =(\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \left[ \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{2}+ \dfrac{1}{3}\cdot ( \dfrac{1}{6}\cdot \sqrt{2} )+ \textcolor[rgb]{1,0,0}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right] } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ 2\cdot A =(\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot \left( \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{\textcolor[rgb]{1,0,0}{2}}{2} \right) } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ 2\cdot A =(\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{2}} } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ A =( \overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \sqrt{2}\cdot\textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{12}} } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ A =(5- \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}\cdot\textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{12}} } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ A =( 5\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3} ) \cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{12}} } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ A =2.22459041846~\rm{cm^2} } $}}$$

P.S.

$$\small{\text{ $ \vec{EH} \mathbf{ =\binom{ \overline{EH_0} }{ \overline{HH_0} } =\binom{ 0 }{ \overline{BE} } + \lambda \binom{ \overline{AI}-\overline{AF} } { -\frac{ \overline{BE} } {2} } = \mu \binom{ \overline{AI}-\overline{AF} } { \overline{BE} }\qquad \mathbf{ \overline{EH_0} =\lambda ( \overline{AI}-\overline{AF} ) }\qquad \mathbf{ \overline{HH_0} = \overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} } } $}}\\\\ \small{\text{ $ \begin{array}{lrcl} &&\\ \lambda~?\\ &&\\ 1.\\ & 0+\lambda( \overline{AI}-\overline{AF} ) &=& \mu ( \overline{AI}-\overline{AF} ) \\ & \lambda &=& \mu &&\\ 2.\\ &\overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} &=& \mu \overline{BE} \\\\ &\overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} &=& \lambda \overline{BE} \qquad | \qquad \mu = \lambda\\\\ &\overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} &=& \lambda \overline{BE} \qquad | \qquad : \overline{BE} \\\\ & 1 - \frac{ \lambda } {2} &=& \lambda \\\\ & \lambda + \frac{ \lambda } {2} &=& 1 \\\\ & \frac{ 3 } {2} \lambda &=& 1 \\\\ & \lambda &=& \frac{ 2 } {3} \\\\ \end{array} $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ \overline{EH_0} =\lambda ( \overline{AI}-\overline{AF} ) = \frac{2}{3} ( \overline{AI}-\overline{AF} ) } $}}\\\\ \small{\text{ $ \mathbf{ \overline{HH_0} = \overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} =\overline{BE} - \frac{2}{3} \frac{ \overline{BE} } {2} = \frac{2}{3} \overline{BE} } $}}\\\\$$

(30^-1+60^-1+80^-1)^-1

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} &&\left( 30^{-1}+60^{-1}+80^{-1} \right)^{-1}\\\\ &=& \left( \dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{80} \right)^{-1}\\\\ &=& \left( \dfrac{60\cdot 80+ 30\cdot 80+30\cdot 60}{30\cdot 60 \cdot 80} \right)^{-1}\\\\ &=& \dfrac{30\cdot 60 \cdot 80} {60\cdot 80+ 30\cdot 80+30\cdot 60}\\\\ &=& \dfrac{144000} {9000}\\\\ &=& 16 \end{array} $}}$$

Hallo Jch habe eine Matheübung nicht verstanden könnt ihr mir helfen?                             Also"Modeleisenbahnen werden oft im Maßstab 1:87 gezeihnet. Welche Länge hat ein Waggon,dessen Model 14,5cm lang ist?

Maßstab (1:87) bedeutet:

     1 cm Model    entsprechen   87 cm in der Natur

dann sind

   14,5 cm Model     entsprechend    14,5 * 87 cm in der Natur

Die Länge des Waggons ist 14,5 * 87 cm = 1261,5 cm  = 12,615 m

1/F = 1/20 + 1/9, what is F

$$\\\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \dfrac{ 1 } { \rm{F} } &=& \dfrac{ 1 } { 20 } + \dfrac{ 1 } { 9 } \qquad | \qquad \cdot ( 20\cdot 9)\\\\ \dfrac{ 20\cdot 9 } { \rm{F} } &=& \dfrac{ 20\cdot 9 } { 20 } + \dfrac{ 20\cdot 9 } { 9 } \\\\ \dfrac{ 20\cdot 9 } { \rm{F} } &=& 9 + 20 \\\\ \dfrac{ 20\cdot 9 } { \rm{F} } &=& 29 \\\\ \dfrac{ 180 } { \rm{F} } &=& 29 \qquad | \qquad \cdot \rm{F}\\\\ \rm{F} \cdot 29 &=& 180 \qquad | \qquad :29\\\\ \rm{F} &=& \dfrac{ 180 } { 29 } \end{array} $}}$$

The lines 3x+y=1 and 5x-y=15 intersect at the center of circle O. If the circle is tangent to the y-axis, find the equation of the circle.

$$\\ \small{\text{ (1. Line): $ \begin{array}{rcl} \\\\\\ 3x + y &=& 1 \\ y &=& \underbrace{-3}_{m_1}x + \underbrace{1}_{b_1} \\ \end{array} $}} \\ \small{\text{ (2. Line): $ \begin{array}{rcl} \\\\\\ 5x - y &=& 15 \\ y &=& \underbrace{5}_{m_2}x \underbrace{-15}_{b_2} \\ \end{array} $}}\\\\ \small{\text{ Intersection: $ \begin{array}{lcl} \boxed{ ~x_{\rm{intersection}}=- \dfrac{\Delta b}{ \Delta m} = - \dfrac{b_1-b_2}{m_1-m_2} ~ } \\\\\\ x_{\rm{intersection}}=- \dfrac{1-(-15)}{-3-5} = -\dfrac{16}{-8} = \dfrac{16}{8}= 2\\ y_{\rm{intersection}} = -3x+1 \\ y_{\rm{intersection}} = -3\cdot 2+1\\ y_{\rm{intersection}} = -6+1\\ y_{\rm{intersection}} = -5 \end{array} $}}\\\\$$

$$\\\small{\text{ Circle center $(x_c,y_c): \begin{array}{lcl} \\\\\\ x_c=x_{\rm{intersection}}=2\\ y_c=y_{\rm{intersection}} = -5 \end{array} $}}\\\\ \small{\text{ Circle radius $r: \begin{array}{lcl} \\\\ r= x_c=x_{\rm{intersection}}=2\\ \end{array} $}}\\\\ \small{\text{ Circle formula: $ \begin{array}{lcl} \\\\ (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\\ (x-2)^2+(y+5)^2=2^2=4\\ \end{array} $}}$$

cos^2t*sint-sint = 0     t = ?

$$\boxed{ ~\cos^2{(t)}\cdot \sin{(t)}-\sin{(t)}=0~ }\\\\ \small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \cos^2{(t)}\cdot \sin{(t)}-\sin{(t)} &=& 0 \qquad | \qquad \boxed{~ \cos^2{(t)} = 1-\sin^2{(t)} ~}\\ \left[ 1-\sin^2{(t)} \right] \cdot \sin{(t)}-\sin{(t)} &=& 0\\ \sin{(t)}-\sin^3{(t)} - \sin{(t)} &=& 0\\ -\sin^3{(t)} &=& 0\\ \sin^3{(t)} &=& 0 \qquad | \qquad \sqrt[3]{} \\ \sin{(t)} &=& \sqrt[3]{0}\\ \sin{(t)} &=& 0 \end{array} $}}\\\\ \small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \sin{(t)} &=& 0 \\ t &=& \arcsin{(0)} \\ t &=& 0 \pm \rm{k}\cdot 360\ensurement{^{\circ}} \end{array} $}}\\\\\\ \small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \sin{(t)} = \sin{(180\ensurement{^{\circ}}- t)} &=& 0 \\ 180\ensurement{^{\circ}}- t &=& \arcsin{(0)} \\ 180\ensurement{^{\circ}}- t &=& 0 \\ t &=& 180\ensurement{^{\circ}} \pm \rm{k}\cdot 360\ensurement{^{\circ}} \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ So~ $ t= 0 \pm k\cdot 180 \ensurement{^{\circ}} \qquad k = 0,1,2\cdots \in N $}}$$

Mit welcher Formel kann man den Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger bei gegebener Uhrzeit berechnen ?

$$\boxed{~ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330 \cdot t^h ~ }\qquad \small{\text{ $t$ ist die Zeit in Stunden} }$$   

1. Beispiel:

Uhrzeit 2:27 Uhr

$$t^h = 2+\frac{27}{60} = 2,45~ \rm{h}\\\\ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 2,45 \rm{h} = 808,5\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 808,5\ensurement{^{\circ}} - 2\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 88,5\ensurement{^{\circ}}$$

2. Beispiel:

Uhrzeit 6:45:20 Uhr

$$t^h = 6+ \dfrac{ 45~\rm{Min.} + \dfrac{ 20~\rm{Sek.} } {60} } { 60 } = 6,7\overline{5}~ \rm{h}\\\\ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 6,7\overline{5}~ \rm{h} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}} - 6\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 69,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

3. Herleitung:

$$\\\small{\text{ Winkelgeschwindigkeit gro\ss{}er Zeiger:~}} \omega_1\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}}\\\\ \small{\text{ Winkelgeschwindigkeit kleiner Zeiger:~}} \omega_2\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}}\\\\ \boxed{ \small{\text{Winkel = Winkelgeschwindigkeit mal Zeit}} } }\\\\ \small{\text{ Winkel gro\ss{}er Zeiger:~}} \alpha_1\ensurement{^{\circ}} =\omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\ \small{\text{ Winkel kleiner Zeiger:~}} \alpha_2\ensurement{^{\circ}} =\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\ \small{\text{ Winkeldifferenz gro\ss{}er Zeiger - kleiner Zeiger:~}} \alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}} = \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} }}\\\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}} $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h -\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left( \omega_1\ensurement{^{\circ}} -\omega_2\ensurement{^{\circ}} \right) \cdot t^h $}}\\\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left( \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}} -\frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}} \right) \cdot t^h $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left(360\cdot \frac{11}{12} \right) \cdot t^h $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = 330\cdot t^h $}}$$