heureka

$$\mathbf{
A = 0,5\cdot D \cdot \pi \cdot \left(D-\sqrt{D^2-d^2} \right)
}$$

Für die 0,5 schreibe ich lieber $$\small{\text{$ \frac{1}{2} $}}$$:

$$\small{\text{
$
\mathbf{
A = \frac{1}{2 } \cdot D \cdot \pi \cdot \left(D-\sqrt{D^2-d^2} \right)
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{\mathbf{
2\cdot A = D \cdot \pi \cdot \left(D-\sqrt{D^2-d^2} \right)}
}
$}}\\\\$$

Jetzt löse ich die Gleichung nach D auf:

$$\small{\text{
$
\mathbf{
2\cdot A = D^2 \cdot \pi -D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2}
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
2\cdot A &=& D^2 \cdot \pi -D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} \\\\
D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} &=& D^2 \cdot \pi - 2\cdot A \\\\
D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} &=& D^2 \cdot \pi - 2\cdot A \qquad | \qquad \rm{auf~beiden~Seiten~quadrieren}\\\\
( D \cdot \pi \cdot \sqrt{D^2-d^2} )^2 &=& (D^2 \cdot \pi - 2\cdot A)^2 \\\\
D^2 \cdot \pi^2 \cdot (D^2-d^2) &=& D^4\cdot \pi^2
- 2\cdot D^2 \cdot \pi \cdot 2\cdot A +2^2\cdot A^2\\\\
D^4 \cdot \pi^2 -D^2 \cdot \pi^2 \cdot d^2 &=& D^4\cdot \pi^2
- 2\cdot D^2 \cdot \pi \cdot 2\cdot A +2^2\cdot A^2 \qquad | \qquad \ D^4 \cdot \pi^2 \rm{~verschwindet}\\\\
-D^2 \cdot \pi^2 \cdot d^2 &=& - 2\cdot D^2 \cdot \pi \cdot 2\cdot A +2^2\cdot A^2 \\\\
4\cdot D^2 \cdot \pi \cdot A -D^2 \cdot \pi^2 \cdot d^2 &=& 2^2\cdot A^2 \\\\
D^2 \cdot \left(
4 \cdot \pi \cdot A - \pi^2 \cdot d^2 \right) &=& 2^2\cdot A^2 \\\\
D^2 &=& \dfrac{ 2^2\cdot A^2 }
{ 4 \cdot \pi \cdot A - \pi^2 \cdot d^2 } \qquad | \qquad \sqrt{} \\\\
D &=& \dfrac{ 2\cdot A }
{ \sqrt{ 4 \cdot \pi \cdot A - \pi^2 \cdot d^2 } } \\\\
\end{array}
$}}\\\\$$

Find the reciprocal of $$.\overline{2} + .\overline{6}$$ expressed as a decimal

$$\\0.\overline{2} = \dfrac{ 1 } {4.5 } \\\\
0.\overline{6} = \dfrac{ 1 } { 1.5 } \\\\$$

so wie have:

$$\small{\text{
$
\dfrac{1} { 0.\overline{2} + 0.\overline{6} }
= \dfrac{1} { \dfrac{ 1 } { 4.5 } + \dfrac{ 1 } { 1.5 } }
=\dfrac{1} { \dfrac{ 1.5+4.5 } { 1.5\cdot 4.5 } }
= \dfrac{ 1.5\cdot 4.5 }{ 1.5+4.5 }
=\dfrac{ 6.75 }{ 6 } = 1.125
$}}$$

The area of the equilateral triangle ABE = sin60⁰(cm²). Line segment AI = 5cm. BF = EF ; find the area DEGHI.

AI = 5 cm

$$\mathbf{
\sin{(60\ensurement{^{\circ}})} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}
}\\
\mathbf{
\overline{AB} = \overline{BE} = \sqrt{2} \qquad
\overline{BF} = \overline{EF} =\frac{ \sqrt{2}} {2}
}\\
\mathbf{
\overline{AF} = \sqrt{2} \cdot \sin{(60\ensurement{^{\circ}})} = \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{3}
}\\
\mathbf{
\overline{FI}= \overline{AI} - \overline{AF} =
5- \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{3}
}\\$$

If the perpendicular of H is $$\small{\text{$H_0$}}$$ on line ED:

$$\mathbf{
\overline{BE} : \overline{HH_0} = 1 : \dfrac{2}{3}\qquad
\overline{ED} : \overline{EH_0} = 1 : \dfrac{2}{3}
}\\
\mathbf{
\overline{EH_0} = \dfrac{2}{3} \cdot ( \overline{AI} - \overline{AF} )\qquad \overline{HH_0} = \dfrac{2}{3} \cdot \overline{BE}
}\\$$

The area DEGHI = A:

$$\small{\text{
$
\mathbf{
2\cdot A =\dfrac{2}{3}\cdot (\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot ( \dfrac{2}{3}\cdot \overline{BE} )+
\dfrac{1}{3}\cdot (\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot ( \dfrac{2}{3}\cdot \overline{BE} - \overline{BF} )+\textcolor[rgb]{1,0,0}{2}\cdot
\dfrac{1}{3}\cdot (\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \overline{BF}
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
2\cdot A =(\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \left[
\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{2}+
\dfrac{1}{3}\cdot ( \dfrac{1}{6}\cdot \sqrt{2} )+
\textcolor[rgb]{1,0,0}{2}\cdot
\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\right]
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
2\cdot A =(\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot \left(
\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{\textcolor[rgb]{1,0,0}{2}}{2}
\right)
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
2\cdot A =(\overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{2}}
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
A =( \overline{AI}-\overline{AF}) \cdot \sqrt{2}\cdot\textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{12}}
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
A =(5- \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}\cdot\textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{12}}
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
A =( 5\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3} ) \cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{5}{12}}
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
A =2.22459041846~\rm{cm^2}
}
$}}$$

P.S.

$$\small{\text{
$
\vec{EH}
\mathbf{
=\binom{ \overline{EH_0} }{ \overline{HH_0} }
=\binom{ 0 }{ \overline{BE} }
+ \lambda \binom{ \overline{AI}-\overline{AF} }
{ -\frac{ \overline{BE} } {2} }
= \mu \binom{ \overline{AI}-\overline{AF} }
{ \overline{BE} }\qquad
\mathbf{ \overline{EH_0} =\lambda ( \overline{AI}-\overline{AF} ) }\qquad
\mathbf{ \overline{HH_0} = \overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} }
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\begin{array}{lrcl}
&&\\
\lambda~?\\
&&\\
1.\\
& 0+\lambda( \overline{AI}-\overline{AF} ) &=& \mu ( \overline{AI}-\overline{AF} ) \\
& \lambda &=& \mu
&&\\
2.\\
&\overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} &=& \mu \overline{BE} \\\\
&\overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} &=& \lambda \overline{BE} \qquad | \qquad \mu = \lambda\\\\
&\overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2} &=& \lambda \overline{BE} \qquad | \qquad : \overline{BE} \\\\
& 1 - \frac{ \lambda } {2} &=& \lambda \\\\
& \lambda + \frac{ \lambda } {2} &=& 1 \\\\
& \frac{ 3 } {2} \lambda &=& 1 \\\\
& \lambda &=& \frac{ 2 } {3} \\\\
\end{array}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
\overline{EH_0} =\lambda ( \overline{AI}-\overline{AF} )
= \frac{2}{3} ( \overline{AI}-\overline{AF} )
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\mathbf{
\overline{HH_0} = \overline{BE} - \lambda \frac{ \overline{BE} } {2}
=\overline{BE} - \frac{2}{3} \frac{ \overline{BE} } {2}
= \frac{2}{3} \overline{BE}
}
$}}\\\\$$

(30^-1+60^-1+80^-1)^-1

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
&&\left(
30^{-1}+60^{-1}+80^{-1}
\right)^{-1}\\\\
&=& \left(
\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{80}
\right)^{-1}\\\\
&=& \left(
\dfrac{60\cdot 80+ 30\cdot 80+30\cdot 60}{30\cdot 60 \cdot 80}
\right)^{-1}\\\\
&=& \dfrac{30\cdot 60 \cdot 80} {60\cdot 80+ 30\cdot 80+30\cdot 60}\\\\
&=& \dfrac{144000} {9000}\\\\
&=& 16
\end{array}
$}}$$

Hallo Jch habe eine Matheübung nicht verstanden könnt ihr mir helfen?                             Also"Modeleisenbahnen werden oft im Maßstab 1:87 gezeihnet. Welche Länge hat ein Waggon,dessen Model 14,5cm lang ist?

Maßstab (1:87) bedeutet:

     1 cm Model    entsprechen   87 cm in der Natur

dann sind

   14,5 cm Model     entsprechend    14,5 * 87 cm in der Natur

Die Länge des Waggons ist 14,5 * 87 cm = 1261,5 cm  = 12,615 m

1/F = 1/20 + 1/9, what is F

$$\\\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\dfrac{ 1 } { \rm{F} } &=& \dfrac{ 1 } { 20 } + \dfrac{ 1 } { 9 } \qquad | \qquad \cdot ( 20\cdot 9)\\\\
\dfrac{ 20\cdot 9 } { \rm{F} } &=& \dfrac{ 20\cdot 9 } { 20 } + \dfrac{ 20\cdot 9 } { 9 } \\\\
\dfrac{ 20\cdot 9 } { \rm{F} } &=& 9 + 20 \\\\
\dfrac{ 20\cdot 9 } { \rm{F} } &=& 29 \\\\
\dfrac{ 180 } { \rm{F} } &=& 29 \qquad | \qquad \cdot \rm{F}\\\\
\rm{F} \cdot 29 &=& 180 \qquad | \qquad :29\\\\
\rm{F} &=& \dfrac{ 180 } { 29 }
\end{array}
$}}$$

The lines 3x+y=1 and 5x-y=15 intersect at the center of circle O. If the circle is tangent to the y-axis, find the equation of the circle.

$$\\
\small{\text{
(1. Line):
$
\begin{array}{rcl}
\\\\\\
3x + y &=& 1 \\
y &=& \underbrace{-3}_{m_1}x + \underbrace{1}_{b_1} \\
\end{array}
$}} \\
\small{\text{
(2. Line):
$
\begin{array}{rcl}
\\\\\\
5x - y &=& 15 \\
y &=& \underbrace{5}_{m_2}x \underbrace{-15}_{b_2} \\
\end{array}
$}}\\\\
\small{\text{
Intersection:
$
\begin{array}{lcl}
\boxed{
~x_{\rm{intersection}}=- \dfrac{\Delta b}{ \Delta m} = - \dfrac{b_1-b_2}{m_1-m_2} ~
}
\\\\\\
x_{\rm{intersection}}=- \dfrac{1-(-15)}{-3-5} = -\dfrac{16}{-8} = \dfrac{16}{8}= 2\\
y_{\rm{intersection}} = -3x+1 \\
y_{\rm{intersection}} = -3\cdot 2+1\\
y_{\rm{intersection}} = -6+1\\
y_{\rm{intersection}} = -5
\end{array}
$}}\\\\$$

$$\\\small{\text{
Circle center $(x_c,y_c):
\begin{array}{lcl}
\\\\\\
x_c=x_{\rm{intersection}}=2\\
y_c=y_{\rm{intersection}} = -5
\end{array}
$}}\\\\
\small{\text{
Circle radius $r:
\begin{array}{lcl}
\\\\
r= x_c=x_{\rm{intersection}}=2\\
\end{array}
$}}\\\\
\small{\text{
Circle formula:
$
\begin{array}{lcl}
\\\\
(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\\
(x-2)^2+(y+5)^2=2^2=4\\
\end{array}
$}}$$

cos^2t*sint-sint = 0     t = ?

$$\boxed{
~\cos^2{(t)}\cdot \sin{(t)}-\sin{(t)}=0~
}\\\\
\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\cos^2{(t)}\cdot \sin{(t)}-\sin{(t)} &=& 0
\qquad | \qquad \boxed{~ \cos^2{(t)} = 1-\sin^2{(t)} ~}\\
\left[ 1-\sin^2{(t)} \right] \cdot \sin{(t)}-\sin{(t)} &=& 0\\
\sin{(t)}-\sin^3{(t)} - \sin{(t)} &=& 0\\
-\sin^3{(t)} &=& 0\\
\sin^3{(t)} &=& 0 \qquad | \qquad \sqrt[3]{} \\
\sin{(t)} &=& \sqrt[3]{0}\\
\sin{(t)} &=& 0
\end{array}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\sin{(t)} &=& 0 \\
t &=& \arcsin{(0)} \\
t &=& 0 \pm \rm{k}\cdot 360\ensurement{^{\circ}}
\end{array}
$}}\\\\\\
\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\sin{(t)} = \sin{(180\ensurement{^{\circ}}- t)} &=& 0 \\
180\ensurement{^{\circ}}- t &=& \arcsin{(0)} \\
180\ensurement{^{\circ}}- t &=& 0 \\
t &=& 180\ensurement{^{\circ}} \pm \rm{k}\cdot 360\ensurement{^{\circ}}
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
So~
$ t= 0 \pm k\cdot 180 \ensurement{^{\circ}} \qquad k = 0,1,2\cdots \in N
$}}$$

Mit welcher Formel kann man den Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger bei gegebener Uhrzeit berechnen ?

$$\boxed{~ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330 \cdot t^h ~
}\qquad
\small{\text{ $t$ ist die Zeit in Stunden} }$$  

1. Beispiel:

Uhrzeit 2:27 Uhr

$$t^h = 2+\frac{27}{60} = 2,45~ \rm{h}\\\\
\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 2,45 \rm{h} = 808,5\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 808,5\ensurement{^{\circ}} - 2\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 88,5\ensurement{^{\circ}}$$

2. Beispiel:

Uhrzeit 6:45:20 Uhr

$$t^h = 6+ \dfrac{ 45~\rm{Min.} +
\dfrac{ 20~\rm{Sek.} } {60} } { 60 } = 6,7\overline{5}~ \rm{h}\\\\
\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 6,7\overline{5}~ \rm{h} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}} - 6\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 69,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

3. Herleitung:

$$\\\small{\text{
Winkelgeschwindigkeit gro\ss{}er Zeiger:~}}
\omega_1\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}}\\\\
\small{\text{
Winkelgeschwindigkeit kleiner Zeiger:~}}
\omega_2\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}}\\\\
\boxed{ \small{\text{Winkel = Winkelgeschwindigkeit mal Zeit}} }
}\\\\
\small{\text{
Winkel gro\ss{}er Zeiger:~}}
\alpha_1\ensurement{^{\circ}} =\omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\
\small{\text{
Winkel kleiner Zeiger:~}}
\alpha_2\ensurement{^{\circ}} =\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\
\small{\text{
Winkeldifferenz gro\ss{}er Zeiger - kleiner Zeiger:~}}
\alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}} = \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} }}\\\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}}
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h
-\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left(
\omega_1\ensurement{^{\circ}}
-\omega_2\ensurement{^{\circ}} \right)
\cdot t^h
$}}\\\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\left(
\frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}}
-\frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}}
\right)
\cdot t^h
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\left(360\cdot \frac{11}{12} \right)
\cdot t^h
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
330\cdot t^h
$}}$$