Quadratische Funktionen

Hallo Gast: 

Deine Frage zur Umformung in die Scheitelpunktsform: 

$2x^2+x+3$[1]

Zunächst müssen wir so umstellen, dass vor dem x^2 eine 1 steht 

$\color{blue}x^2+\color{red}\frac{x}{2}+\color{green}\frac{3}{2}$[2]

Nun weißt du dass die Scheitelpunktsform immer so aussieht:

$(\color{blue}x\color{black}+e)^2+v$[3]

Hier verstehckt sich also die Binomische Formel: 

$(\color{blue}a\color{black}+b)^2=\color{blue}a^2\color{red}+2ab+\color{black}b^2$[4]

Oder mit unseren Variablen:

$(\color{blue}x+\color{black}e)^2+v=\color{blue}x^2+\color{red}2ex+\color{green}e^2+v$[5]

Ich habe dir mal die Zahlen so markiert, wie du sie gleichsetzten musst

Es fehlen nun die Variablen e und v: 

Für e: Wir sehen, dass e in 2ex steht. Also setzten wir das mit unserer Aufgelösten Scheitelpunktsform gleich:

$\color{red} \frac{x}{2}=2ex$[6]

$\color{red}e=\frac{1}{4}$[7]

So sieht unsere Scheitelpunktsform schon mal so aus: 

$(x+\frac{1}{4})^2+v$[8]

Berechnung v: Wenn wir die Binomische Formel [8] auflösen mit unseren Variablen  würde rauskommen:

$x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}$[9]

Die Ersten zwei Therme stimmen ja schon, aber die 1/16 ist ja nicht gleich 3/2. Wir haben also kurz gesagt 1/16 zu viel berechnet. Das heißt wir müssen, das was wir zu viel berechnet haben von 3/2 abziehen und das ist unser v:

$\color{green}e^2+v=\frac{3}{2}$[10]

$\color{green} v=\frac{3}{2}-e^2$

$v=\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=\frac{24}{16}-\frac{1}{16}=\frac{23}{16}$[12]

Die komplette Scheitelpunktsform ist demnach: 

$(x+\frac{1}{4})^2+\frac{23}{16}$[13]

Indem du das nun auflöst, kannst du das leicht nachprüfen.  

gruß gandalfthegreen

noch eine Ergänzung: 

1. ich habe die Variablen e und v mit bedacht gewählt weil:

Das v ist die Verschiebung des Scheitelpunktes nach links und rechts. steht v=3 bedeutet das,  eine Verschiebung um 3 Einheiten nach LINKS. 

Das e ist die Stelle des Scheitelpunktes selber, es ist also die Extremstelle. Aus diesem grund kannst du auch e wie ich finde einfacher berechnen: 

Die Extremstelle bekommst du indem du die erste Ableitung bildest und dann null setzt

 $f(x)=2x^2+x+3\\ f´(x)=4x+1$

bzw:

$f(x)=x^2+\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\\ f´(x)=2x+\frac{1}{2}$

Wenn man die Ableitungen null setzt kommt als "Nullstelle" jeweils :

$x=\frac{1}{4}=e$

raus. Das ist die Extremstelle, also unser e.

gruß

gandalfthegreen

Ich würde mit der Bezeichnung e für eine Variable vorsichtig sein, man könnte sie leicht mit der Euler´schen Zahl verwechseln.

Ich würde wie folgt vorgehen. Ds soll eine Art Anleitung sein.

Wenn Du die nleitung mit der rechten Maustaste anklickst, kannst sie kopieren, in ein Word-Dokument einfügen und ausdrucken. Es sind 2 Teile.