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Vollständige Induktion von 2n-1 = n^2

 17.05.2019
 #1
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Hmmm. Ich hab noch nie eine Induktion versucht, also kann das, was ich schreibe, komplett falsch sein.

 

Bei einer Induktion versucht man doch zu beweisen, dass ich in eine Formel - in der Wikipedia ist es die Gaussche Summenformel - beliebige natürliche Zahlen für n einsetzen kann, ohne dass sie unwahr wird, also nicht mehr aufgeht.

 

In der Wikipedia steht, man braucht eine Anfangsvoraussetzung und dann eine Induktionsvoraussetzung.

 

Nehmen wir mal 1 als Anfangsvoraussetzung und n+1 als theortisches Folgeglied von 1 für die Darstellung der Induktionsvoraussetzung.

 

\(2*1-1=1^2 \\ 2-1=1\\ 1=1\)

 

Somit ist die Aussage \(2*n-1=n^2\)

 

Für n=1 wahr.

 

Fraglich ist, ob auch die Induktionsvoraussetzung gegeben ist, also geht das auch mit n+1 für n?

 

Hier mein Versuch:

 

Man müsste

 

\(2(n+1)-1=(n+1)^2\)

 

so umstellen können, dass wieder

 

\(2n-1=n^2\)

 

dabei rauskommt. Wenn ich das mit der Induktion richtig verstanden habe.

 

\(2(n+1)-1=(n+1)^2\\ 2n+2=n^2+2n+1 \qquad |-(2n+1)\\ 1=n^2\)

 

Also ist mein Ergebnis, dass ich entweder auf der linken Seite 2n-1 herstellen kann, dann hab ich aber rechts nicht \(n^2\),

oder ich kann rechts \(n^2\)herstellen, dann hab ich links aber 1.

 

Daraus folgt für mich, dass 1 der einzig einsetzbare Wert ist, der die Gleichung wahr macht. Für alle anderen Werte geht die Gleichung nicht auf.

 

Man kann auch anders beweisen, dass die Gleichung nicht allgemeingültig ist:

 

Wenn ich für n einfach 2 einsetze, passiert Folgendes:

 

\(2*2-1=2^2\\ 4-1=4\\ 3=4\)

 

Wenn ich zeigen kann, dass die Gleichung für irgendeinen Wert nicht gilt, dann hab ich doch eigentlich schon bewiesen, dass sie nicht allgemeingültig ist, oder ?

 

Was sagen die Experten dazu?

 17.05.2019
bearbeitet von Trotzdem  17.05.2019
 #2
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+2

Ich denke mal, es ist folgendes gemeint:

laugh

 18.05.2019
bearbeitet von Omi67  18.05.2019
 #3
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+1

Hallo Omi, zunächst mal danke für den plausibel klingenden Erklärungsversuch.

 

Leider hab ich noch ein Verständnisproblem. Erstens bin mir nicht sicher, ob ich das mit dem Summenzeichen richtig verstanden habe.

 

Die Ausgangsformel war ja 2n-1=n²

 

Gehen wir mal davon aus, dass 2k-1=n² gemeint war.

 

Wenn man dann schreibt, dass

 

\(\sum\limits^{n}_{k=0} 2k-1=n^2\)

 

dann soll das doch die aufaddierte Summe aller Ergebnisse sein, die man erhält, wenn man für k den Wert 1, 2, 3, 4, ..., n einsetzt.

 

Ich verstehe nicht, warum man das "=n²" nicht einfach weglässt. Es ist ja quasi eine unbekannte, die in der Summe gar nicht mitspielt.

 

Zweitens ist mir unklar, warum 2k-1=n² überhaupt funktionieren kann. Wenn man natürliche Zahlen für n einsetzt, wird doch immer eine ganzzahlige Quadratzahl rauskommen, bei der n ab dem Wert 2 nie wie k sein darf, damit man überhaupt eine Chance hat, ein Ergebnis hin zu puzzeln.

 

Aber wenn ich für k 2 einsetze, müsste ich ja für n bereits die Wurzel aus 3 einstetzen, damit es funktioniert.

 

Drittens habe ich das Gefühl, dass ich nicht verstanden habe, wozu man überhaupt etwas induziert.

 

Was ich gemacht habe, ist ja im Prinzip nur berechnen, für welchen Wert die Gleichung 2n-1=n² aufgeht. Das kann ja aber nicht Induktion sein, weil man sonst keinen Extrabegriff für Induktion bräuchte.

 

Was ich verstanden habe ist, dass man mit der Induktion irgendwie beweisen kann, dass eine Formel, die zur Berechnung von irgendetwas dient, nicht nur bei ein paar mehr oder weniger zufällig ausgewählten "Testzahlen" funktioniert, sondern auch darüber hinaus bei einer Vielzahl weiterer Zahlen.

 

Für mich klingt das zunächst wieder wie "Definitionsbereich bestimmen", also sowas wie bei einer Kurverndiskussion, wo man überprüft, ob und wann der Nenner eines Bruchs in der Funktion, die man betrachtet, 0 werden könnte.

 

Das hat aber vermutlich auch nichts mit Induktion zu tun, oder ?

 19.05.2019
bearbeitet von Trotzdem  19.05.2019
 #4
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+2

Hallo Trotzdem,

 

ich bin bei der Fragestellung davon ausgegangen, dass das Summenzeichen vergessen wurde. Mit Summenzeichen macht das alles einen Sinn.

Bei der vollständigen Induktion ist zu beweisen, dass die Gleichung auch für das (n+1). Glied gilt und somit für alle n.

laugh

 19.05.2019
 #5
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Hallo Omi, das mit der Verständnislücke hab ich ernst gemeint. Ich habe wirklich keine Ahnung, warum es sowas wie eine Induktion gibt. Ich habe so eine vage Ahnung, dass es sich um sowas wie Definitionslücke dreht.

 

Ich glaube, dass der nächste Schritt mathematischer Evolution meinerseits tatsächlich ist, zu begreifen, wie dieses Summenzeichen am Ende des Tages gemeint ist.

 

Meine derzeitige Theorie ist, dass - insbesondere beim Integral - das "dx" da ist, um die Fläche darzustellen.

 

also:

 

\(\sum\limits^{x}_{x=0} f(x)*dx\)

 

Das führt ja dazu, dass man eine Fläche kriegt. Wegen dem dx. Denn sonst hätte man ja - auf ein Rechteck bezogen - nur die Höhe, aber nicht die Breite. Ich verstehe das dx also als "Delta X", im Prinzip also die Breite.

 

Ich rechne also theoretisch alle f(x) zusammen und multipliziere dann mit x. Dann habe ich eine Fläche. Gefühlt an der Grenze dessen, was mein Verstand zu erfassen in der Lage ist.

 

Ich werd mal über all dies nachdenken. Ich glaub, wenn ich Deinen Lösungsweg wirklich verstanden habe, bin ich einen Schritt weiter.

 22.05.2019

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