Probolobo

Nette Kombinatorikaufgabe, ich mach die a):

Für die beiden B's haben wir gesamt 8 Möglichkeiten, sie anzuordnen: Ganz vorne, an Stelle 2, an Stelle 3 etc. bis Stelle 8 (das zweite ist dann an Stelle 9.)

Die anderen 7 Buchstaben können dabei machen, was sie wollen. Das legt den Verdacht nahe, mit 7! als zweitem Faktor richtig zu liegen - das wäre richtig, wenn alle Buchstaben außer den Bs unterschiedlich wären. Da sind aber noch die vier Os! Daher sieht's so aus:
 

$\frac{8 \cdot 7!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$

In der b) geht's sogar etwas leichter, weil bei asinus alle Buchstaben außer den beiden S unterschiedlich sind.

Gerne, freut mich sehr, dass ich doch noch helfen konnte! :)

Wenn's mehr Fragen gibt immer her damit, asinus&ich freuen uns!

Ah, so wie der Satz da steht sieht's aus wie "kgV(36, x, y)=540".

Hab mich glaub' ich aber eh vertan, war ein langer Tag heute. Wenn wir alle y suchen mit kgV(36, y)=540, so brauchen wir folgendes:

Die Primfaktorzerlegung von 540 ist 2²*3³*5, die von 36 ist 2²*3². Die Primfaktorzerlegung des kgV besteht aus allen Primfaktoren der Argumente, jeweils mit der höchsten auftretenden Potenz. Die Primfaktorzerlegung von y muss also 3³ und 5 als Faktoren enthalten. Darüber hinaus darf höchstens noch 2 vorkommen, diese allerdings mit beliebiger Potenz kleiner oder gleich 2, denn 2² kommt auch schon von der 36 zur PFZ des kgV.

Damit kommen für y noch die Zahlen 3³*5 = 135; 2*3³*5=270 und 2²*3³*5=540 selbst in Frage.

a) ist schonmal richtig.

Für b) sei erstmal festgehalten, dass gilt 540=36*15.

Das können wir nochmal aufteilen zu

540=36*1*15

540=36*3*5

540=36*5*3

540=36*15*1

Die Zahlen sind also 1, 3, 5 und 15 (mit zugehörigen y-Werten 15,5,3,1).

Hatte schon manchen Nachhilfeschüler, der gemeint hat, dass Mathe sogar ein bisschen Spaß macht, wenn man Aufgaben, mit denen man ein bisschen kämpfen musste, am Ende richtig gelöst hat. Erfolgserlebnisse sind doch immer angenehm!

Stell gern hier im Forum Fragen zu den Themen, wo du Probleme hast, vielleicht kannst du dir den Spaß durch Erfolg mit uns auch erarbeiten :)

Klar, auf geht's! 
 

Der Induktionsanfang ist meistens der leichteste Teil. Wir prüfen, ob die Aussage für die kleinste mögliche Zahl gilt, in dem Fall n=1. Das passiert, indem wir einfach in beide Seiten der zu zeigenden Gleichheit 1 einsetzen und sehen, dass die Aussage stimmt:

$\Sigma_{k=1}^1 k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 +1)}{6}$ - passt!

Die Induktionsvoraussetzung ist (eigentlich immer), dass die zu zeigende Aussage für irgendeine Zahl n gilt. Wir wollen daraus folgern, dass sie auch für n+1 gilt. (Man kann sogar voraussetzen, dass sie für alle Zahlen kleiner oder gleich einer Zahl n gilt. Hier ist das nicht notwendig, manchmal ist's praktisch.)

Wir nehmen also an: $\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$ gilt für eine Zahl n.

Zeigen wollen wir jetzt (Induktionsschritt), dass dann auch gilt $\Sigma_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1) \cdot (n+1+1)\cdot (2(n+1)+1)}{6}$.

Dabei können wir zunächst die rechte Seite vereinfachen: $\frac{(n+1) \cdot (n+1+1)\cdot (2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$.

Die linke Seite schauen wir uns auch nochmal genauer an. Bei (*) benutze ich die Induktionsvoraussetzung.

$\Sigma_{k=1}^{n+1} k^2 = (\Sigma_{k=1}^n k^2 ) +(n+1)^2=^* \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} +(n+1)^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} +(n^2+2n+1) = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6(n^2+2n+1)}{6}$

Löst du da noch die Klammern auf (das überlass' ich mal dir), wirst du feststellen: Die linke Seite und die rechte Seite stimmen überein. 

Somit ist gezeigt: Stimmt die Aussage für eine Zahl n, dann auch für die folgende Zahl n+1. Weil sie für n=1 stimmt, stimmt sie also für n=2 und daher für n=3 usw. - die Aussage ist also wahr für jede natürliche Zahl.

Ich hoff' das war so ausführlich genug, frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist! :)

Die 4 Induktionen? 

Im Bild wird "behauptet", dass gilt

$\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

Die Aussage ist wahr, der Beweis dafür eine typische Induktions-Aufgabe. Willst du das gezeigt haben?
Wenn ja - kriegst du den Induktionsanfang noch hin?

Schau dir dafür Frage&Antwort hier an:

Einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

Ein Beispiel: 

$\frac{3}{4} : \frac{5}{6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

Teilt man den Bruch durch eine ganze Zahl, so kann man diese Zahl auch als Bruch interpretieren und das gleiche wie oben tun. Der Zähler ist dann die Zahl selbst, der Nenner 1.

Ah ja, hab ich vergessen zu erwähnen, sorry!

Das ist genau die Zeile mit dem Stern - da benutze ich die Induktionsvoraussetzung, nämlich dass n^2 > n+1 ist. Deswegen ersetze ich das n^2 durch n+1, muss aber statt dem Gleichheitszeichen ein Ungleichheitszeichen machen.