heureka

Integral von t*e^(-st) dt

$$\int {t\cdot e^{-st} }\ dt =\ ?$$

Wir lösen zuerst folgendes Integral: $$\int { e^{-st} }\ dt$$

$$\\\small{\text{Wir substituieren $u = -s\cdot t \quad du = -s\cdot \ dt \quad dt = -\frac{1}{s}\ du
$}}\\\\
\int { e^{-st} }\ dt = \int{ e^u( -\frac{1}{s})\ du } \\
\int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot \int{ e^u\ du } \quad | \quad \boxed{\int{ e^u\ du } = e^u} \\
\int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot e^u} \\
\boxed{
\int { e^{-st} }\ dt
= -\frac{1}{s}\cdot e^{-st}} }$$

Nun können wir unser Integral  $$\int {t\cdot e^{-st} }\ dt$$   lösen:

$$\small{\text{Wir wenden folgende Regel an:
$
\boxed{\int{u\cdot v'} = u\cdot v - \int{u'\cdot v} }
$}}\\\\
\small{\text{
Wir setzen :
$\boxed{ u = t
\quad u' = 1 }
\qquad \boxed{ v' = e^{-st}
\quad v = \int{v'} = \int{e^{-st}\ dt }
= -\frac{1}{s}\cdot e^{-st} }
$
}}\\\\
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = t \cdot( -\frac{1}{s}\cdot e^{-st} ) - \int{1 \cdot ( -\frac{1}{s}\cdot e^{-st}) }\ dt \\\\
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\frac{t}{s}\cdot e^{-st} + \frac{1}{s} \cdot \int{ e^{-st} }\ dt \\\\
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\frac{t}{s}\cdot e^{-st} + \frac{1}{s} \cdot (-\frac{1}{s}\cdot e^{-st}) \\\\
\boxed{
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\dfrac{t}{s}\cdot e^{-st} - \dfrac{1}{s^2} \cdot e^{-st} + c }$$

32*16^(x+1)=8^(x+2)*4^(x+4)     x=?

$$\\ \small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
32\cdot 16^{x+1} &=& 8^{x+2}\cdot 4^{x+4}\\
32\cdot 16^x\cdot 16 &=& 8^x \cdot 8^2\cdot 4^x\cdot 4^4 \\\\
\dfrac{8^x\cdot4^x}{16^x} &=& \dfrac{32\cdot 16}{8^2\cdot 4^4} \\\\
\left( \dfrac{8\cdot 4}{16} \right)^x &=& \dfrac{8\cdot 4\cdot 4^2}{8^2\cdot 4^4} \\\\
2^x &=& \dfrac{8\cdot 4^3 }{8^2\cdot 4^4} \\\\
2^x &=& \dfrac{1 }{8\cdot 4} \\\\
2^x &=& \dfrac{1 }{32} \quad | \quad 32 = 2^5\\ \\
2^x &=& \dfrac{1 }{2^5} \\ \\
2^x &=& 2^{-5} \\ \\
x &=& -5
\end{array}
$
}}$$

39!C5!  picking 5 numbers from 1-39   please help!

$$\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}
39 \\ 5
\end{array}\right)
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\begin{array}{ccc}
&=&\dfrac{39!}{5!\cdot (39-5)! }\\\\
&=&\dfrac{39!}{5!\cdot 34! }\\\\
&=&\dfrac{\not{34!}\cdot 35 \cdot 36 \cdot 37 \cdot 38 \cdot 39}{5!\cdot \not{34!} }\\\\
&=&\dfrac{35 \cdot 36 \cdot 37 \cdot 38 \cdot 39}{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}\\\\
&=&\dfrac{35}{5}\cdot \dfrac{36}{4}\cdot 37 \cdot \dfrac{38}{2} \cdot \dfrac{39}{3}\\\\
&=&7\cdot 9 \cdot 37 \cdot 19 \cdot 13\\\\
&=&575757
\end{array}
$
}}$$

Hallo gandalfthegreen,

hier wird das Additionstheorem angewendet:

$$\boxed{\sin ( x + y ) = \sin (x ) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y) }\\ \\
\small{\text{Wir setzen $y=x$ ein und erhalten: }} \\
\sin ( x + x ) = \sin (x ) \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \sin(x) \\
\small{\text{Nun fassen wir zusammen: }} \\
\sin ( x + x ) = 2\cdot \sin (x ) \cdot \cos(x) \\
\small{\text{Wir substituieren nun $x$ mit $\dfrac{z}{2}$ und erhalten: }} \\
\sin ( \dfrac{z}{2} + \dfrac{z}{2} ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) \\ \\
\small{\text{Nun fassen wir wieder zusammen: }} \\\\
\sin ( 2\cdot \dfrac{z}{2} ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) \\ \\
\small{\text{Letztendlich: }} \\\\
\boxed{ \sin ( z ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) }$$

Was ist das Integral von Sinus^-1 ?

$$\small{\text{
$
\boxed{
\int{
\frac{1}{\sin{(x)}}
}\ dx
=
\int{
\frac{1}{ 2\sin{( \frac{x}{2} )}\cdot \cos{( \frac{x}{2} )} }
}\ dx
}
$}}$$

Wir substituieren mit

 $$\small{\text{ $ u=\tan{( \frac{x}{2} )}
\qquad du = \dfrac{d \left(\tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right)} \right) } {dx}
\qquad du = \dfrac{d \left(
\frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
\right) } {dx} \qquad
\boxed{ \left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}
}
$}}\\\\
\small{\text{$
\dfrac{d \left(
\frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
\right) } {dx}
=
\dfrac{
\frac{1}{2}\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }\cdot (- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \cdot \frac{1}{2})
}
{ \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
= \dfrac{1}{ 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{
du = \dfrac{1}
{
2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
\cdot \ dx
\qquad dx = 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du
}
$
}}$$

$$\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
=
\int{
\dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} }
}\ dx
=
\int{
\dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} }
} \cdot 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du
$}}\\\\
\small{\text{
$
=\int{ \dfrac{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du }
= \int{ \dfrac{ 1 }{ \tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du }
=\int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du }
$
}}$$

Wir substituieren erneut

$$\small{\text{ $ e^w = u
\qquad e^w\cdot dw = du
$
}}$$

$$\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du }
=\int{ \dfrac{ 1 }{ e^w } e^w\ dw }
=\int{\ dw } = w
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{w = \ln{(u)}}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \ln{(u)}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{ u=\tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} }
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \ln{ \left( \tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} \right)} + c
$
}}\\\\$$

LOG 5^ 1/5=X

$$\small{\text{ $ x=\log( 5^{\frac{1}{5}}) $ }}\\
\small{\text{ $ x=\frac{1}{5}\cdot \log( 5) $ }}\\
\small{\text{ $ x=0.2\cdot \log( 5) $ }}\\
\small{\text{ $ x=0.2\cdot 0.69897000434 \quad | \quad \log( 5)= 0.69897000434 $ }}\\
\small{\text{ $ x=0.13979400087 $ }}\\$$

es werden 2 würfel geworfen.

Alle möglichen Würfe zweier Würfel = 36 ( 6 x 6 )

$$\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\end{array}$$  Die Summe der Augenzahlen beider Würfel sind in der Tabelle eingetragen.

Man kann z.B. nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{1}{36}$$ eine 12 würfeln, weil die 12 nur einmal in der Tabelle mit 36 möglichen Augenzahlen vorkommt. Eine 7 kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{6}{36}$$ werfen, weil in der Tabelle die Augenzahl 7 (Summe beider Würfel) 6 mal vorkommt und zwar:

Würfel 1 = 6 und Würfel 2 = 1  ( Summe = 7 ) oder

Würfel 1 = 5 und Würfel 2 = 2  ( Summe = 7 ) oder

Würfel 1 = 4 und Würfel 2 = 3  ( Summe = 7 ) oder

Würfel 1 = 3 und Würfel 2 = 4  ( Summe = 7 ) oder

Würfel 1 = 2 und Würfel 2 = 5  ( Summe = 7 ) oder

Würfel 1 = 1 und Würfel 2 = 6  ( Summe = 7 ) 

a) mit welcher wahrscheinlichkeit zeigt ein wurf eine 1 und der andere keine 1 ?

$$\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 2 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{3} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{4} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} \\
2 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
3 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
4 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
5 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
6 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\end{array}$$ Jetzt sind in rot eingefärbt alle Fälle, in denen entweder Würfel 1 eine 1 hat und der andere keine 1 ( also eine 2, 3, 4, 5, 6 ) und oder Würfel 2 eine 1 hat und der andere keine 1 ( also eine 2, 3, 4, 5, 6 ). Wie wir sehen, haben wir 10 Möglichkeiten ( 1, 2) ( 1,3) (1,4) (1,5)(1,6)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

Die Wahrscheinlichkeit ist $$\frac{10}{36}=27.\overline{7}\ \%$$

b) mit welcher wahrscheinlichkeit ist keine 1 dabei ?

$$\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 3 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{4} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{8} \\
3 & 4 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{8} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{9} \\
4 & 5 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{8} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{9} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{10} \\
5 & 6 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{8} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{9} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{10} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{11} \\
6 & 7 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{8} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{9} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{10} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{11} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{12} \\
\end{array}$$Jetzt sind in rot eingefärbt alle Fälle, in denen weder Würfel 1 noch Würfel 2 eine Augenzahl 1 hat.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $$\frac{25}{36} = 69.\overline{4}\ \%$$

$$\small{\text{
$
\dfrac{
\dfrac{c}{d}-\dfrac{d}{c}
}
{
\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{d}
}
=
\dfrac{
\dfrac{c^2-d^2}{dc}
}
{
\dfrac{d-c}{dc}
}
= \left( \dfrac{c^2-d^2}{dc} \right) \cdot
\left( \dfrac{dc}{d-c} \right)
= \dfrac{c^2-d^2}{d-c}
= -\dfrac{c^2-d^2}{c-d}
= -\dfrac{(c-d)\cdot (c+d) }{c-d}
= - (c+d)
$}}\\\\$$

Hallo! bräuchte Hilfe bei einem Mathebeispiel. Lösungen sind zwar vorhanden, doch der Rechenweg fehlt.

Ermittle eine Gleichung jenes Kreises k, auf dem die Punkte A,B und C liegen!

Stelle Gleichungen der Tangenten an k in den Punkten A,B und C auf und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von diesen Tangenten begrenzt wird!

 A=(-2/3), B=(10/9), C=(2/15)

I. Die Kreisgleichung aufstellen:

$$\boxed{(x-x_m)^2+(y-y_m)^2 = r^2 \qquad
\small{\text{Mittelpunkt Kreis }}
M(x_m|y_m)
\small{\text{ und der Kreisradius r } }
}\\\\
\small{\text{
$
I.\qquad A(-2|3):\quad (-2-x_m)^2 + (3-y_m)^2=r^2
$}}\\
\small{\text{
$
II.\qquad B(10|9):\quad (10-x_m)^2 + (9-y_m)^2=r^2
$}}\\
\small{\text{
$
III.\qquad C(2|15):\quad (2-x_m)^2 + (15-y_m)^2=r^2
$}}\\$$

Gleichsetzung I und II.:

$$\small{\text{
$
I.=II.\qquad(-2-x_m)^2 + (3-y_m)^2=(10-x_m)^2 + (9-y_m)^2
$}}\\
\small{\text{
$
4+4x_m+x_m^2+9-6y_m+y_m^2=10^2-20x_m+x_m^2+81-18y_m+y_m^2
$}}\\
\small{\text{
$
\boxed{(1)\qquad 6x_m +3y_m =42}
$}}\\$$

Gleichsetzung I. und III. :

$$\small{\text{
$
I.=III.\qquad(-2-x_m)^2 + (3-y_m)^2= (2-x_m)^2 + (15-y_m)^2=r^2
$}}\\
\small{\text{
$
4+4x_m+x_m^2+9-6y_m+y_m^2=4-4x_m+x_m^2+15^2-30y_m+y_m^2
$}}\\
\small{\text{
$
\boxed{(2)\qquad 2x_m +6y_m =54}
$}}\\$$

Das Gleichungssystem für den Mittelpunkt Kreis auflösen:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rrcl}
(1) \qquad & 6x_m +3y_m &=& 42 \quad | \quad *2 \\
\qquad & 12x_m +6y_m &=& 84 \\
(2) \qquad & 2x_m +6y_m &=& 54 \\
\hline
(1)+(2): \qquad & 10x_m &=&30 \\
& x_m &=& 3 \\
\hline
& 18+3y_m &=& 42\\
& 3y_m &=& 24 \\
& y_m &=& 8
\end{array}
$}}\\$$

Berechnung von r:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
(10-3)^2+(9-8)^2 &=& r^2 \\
7^2+1^2 &=& r^2 \\
50 &=& r^2\\
r &=& \sqrt{50}
\end{array}
$}}$$

Die Kreisgleichung lautet:

$$\boxed{
(x-3)^2+(y-8)^2=50 \qquad M=(3|8) \small{\text{ und }} r = \sqrt{50}
}$$

II. Die Tangentengleichungen:

Die Steigung von A nach M: $$m=\frac{y_m-y_a}{x_m-x_a}$$

Die Steigung der Tangente von tA: $$m_{ta}=-\frac{1}{m} = -\frac{x_m-x_a}{y_m-y_a}= -\frac{3-(-2)}{8-3}=-1$$

Die Tangentengleichung tA:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
(y-y_a)&=&(x-x_a)\cdot m_{ta}\\
(y-3)&=&(x-(-2))\cdot (-1)\\
\rm{ta:} \qquad x+y &=& 1
\end{array}
$
}}$$

Die Steigung von M nach B: $$m=\frac{y_b-y_m}{x_b-x_m}$$

Die Steigung der Tangente von tB: $$m_{tb}=-\frac{1}{m} = -\frac{x_b-x_m}{y_b-y_m}= -\frac{10-3)}{9-8}=-7$$

Die Tangentengleichung tB:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
(y-y_b)&=&(x-x_b)\cdot m_{tb}\\
(y-9)&=&(x-10)\cdot (-7)\\
\rm{tb:} \qquad 7x+y&=& 79
\end{array}
$
}}$$

Die Steigung von C nach M: $$m=\frac{y_m-y_c}{x_m-x_c}$$

Die Steigung der Tangente von tC: $$m_{tc}=-\frac{1}{m} = -\frac{x_m-x_c}{y_m-y_c}= -\frac{3-2}{8-15}=\frac{1}{7}$$

Die Tangentengleichung tC:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
(y-y_c)&=&(x-x_c)\cdot m_{tc}\\
(y-15)&=&(x-2)\cdot \frac{1}{7}\\
\rm{tc:} \qquad x-7y&=& -103
\end{array}
$
}}$$

III. Die Ecken des Tangentendreiecks(Schnittpunkte) :

1. Schnittpunkt ( A und C ):

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rrcl}
ta:& x+y &=& 1 \\
tc: & x-7y &=& -103 \\
\hline
ta-tc:& 8y &=& 104 \\
& y &=& 13 \\
\hline
& x &=& 1-y \\
& x &=& 1-13\\
& x &=& -12
\end{array}
$
}}$$

1. Schnittpunkt (-12|13)

2. Schnittpunkt ( B und C ):

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rrcl}
tb:& 7x+y &=& 79 \quad | \quad \cdot 7\\
& 49x+7y &=& 553 \\
tc: & x-7y &=& -103 \\
\hline
tb+tc:& 50x &=& -103+553\\
& 50x &=& 450 \\
& x &=& 9 \\
\hline
& 7\cdot 9 + y &=& 79\\
& 63 + y &=& 79 \\
& y &=& 79-63\\
& y &=& 16
\end{array}
$
}}$$

2. Schnittpunkt (9|16)

3. Schnittpunkt ( A und B ):

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rrcl}
tb:& 7x+y &=& 79 \\
ta: & x+y &=& 1 \\
\hline
tb-ta:& 6x &=& 78\\
& x &=& 13 \\
\hline
& y &=& 1-x\\
& y &=& 1-13 \\
& y &=& -12\\
\end{array}
$
}}$$

3. Schnittpunkt (13|-12)

IV. Die Berechnung der Fläche des Tangentendreiecks:

Die 3 Seiten des Tangentendreiecks:

Seite 1 : $$\small{\text{
$
s_1=\sqrt{
(-12-13)^2+(13-(-12))^2
}
= \sqrt{25^2+25^2}
=25\sqrt{2}
$
}}$$

Seite 2: $$\small{\text{
$
s_2=\sqrt{
(9-13)^2+(16-(-12))^2
}
= \sqrt{4^2+28^2}
=\sqrt{800}
=\sqrt{2\cdot 400}
=20\sqrt{2}
$
}}$$

Seite 3: $$\small{\text{
$
s_3=\sqrt{
(-12-9)^2+(13-16)^2
}
= \sqrt{21^2+3^2}
=\sqrt{450}
=\sqrt{9\cdot 50}
=3\sqrt{50}
$
}}$$

Die Fläche:

$$A=A_1+A_2+A_3 \\\\
A_1 =\dfrac{ s_1\cdot r}{2} \qquad
A_2 =\dfrac{ s_2\cdot r}{2} \qquad
A_3 =\dfrac{ s_3\cdot r}{2}\\\\
A=\dfrac{ s_1\cdot r}{2} + \dfrac{ s_2\cdot r}{2}+ \dfrac{ s_3\cdot r}{2} \\\\
\boxed{A=\dfrac{ r\cdot ( s_1 + s_2 + s_3 ) }{2} }\\\\
\small{\text{
$
A=\dfrac{ \sqrt{50 }\cdot ( 25\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 3\sqrt{50} ) }{2}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
A=\dfrac{ 25\cdot 10 + 20\cdot 10 + 3\cdot 50 }{2}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
A=\dfrac{ 250+ 200 + 150 }{2}
$}}\\\\
\small{\text{
$
A=\dfrac{ 600 }{2}
$}}\\\\
\small{\text{
$
A=300
$}}$$