Tangenten

Hallo! bräuchte Hilfe bei einem Mathebeispiel. Lösungen sind zwar vorhanden, doch der Rechenweg fehlt.

Ermittle eine Gleichung jenes Kreises k, auf dem die Punkte A,B und C liegen!

Stelle Gleichungen der Tangenten an k in den Punkten A,B und C auf und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von diesen Tangenten begrenzt wird!

 A=(-2/3), B=(10/9), C=(2/15)

I. Die Kreisgleichung aufstellen:

$$\boxed{(x-x_m)^2+(y-y_m)^2 = r^2 \qquad \small{\text{Mittelpunkt Kreis }} M(x_m|y_m) \small{\text{ und der Kreisradius r } } }\\\\ \small{\text{ $ I.\qquad A(-2|3):\quad (-2-x_m)^2 + (3-y_m)^2=r^2 $}}\\ \small{\text{ $ II.\qquad B(10|9):\quad (10-x_m)^2 + (9-y_m)^2=r^2 $}}\\ \small{\text{ $ III.\qquad C(2|15):\quad (2-x_m)^2 + (15-y_m)^2=r^2 $}}\\$$

Gleichsetzung I und II.:

$$\small{\text{ $ I.=II.\qquad(-2-x_m)^2 + (3-y_m)^2=(10-x_m)^2 + (9-y_m)^2 $}}\\ \small{\text{ $ 4+4x_m+x_m^2+9-6y_m+y_m^2=10^2-20x_m+x_m^2+81-18y_m+y_m^2 $}}\\ \small{\text{ $ \boxed{(1)\qquad 6x_m +3y_m =42} $}}\\$$

Gleichsetzung I. und III. :

$$\small{\text{ $ I.=III.\qquad(-2-x_m)^2 + (3-y_m)^2= (2-x_m)^2 + (15-y_m)^2=r^2 $}}\\ \small{\text{ $ 4+4x_m+x_m^2+9-6y_m+y_m^2=4-4x_m+x_m^2+15^2-30y_m+y_m^2 $}}\\ \small{\text{ $ \boxed{(2)\qquad 2x_m +6y_m =54} $}}\\$$

Das Gleichungssystem für den Mittelpunkt Kreis auflösen:

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rrcl} (1) \qquad & 6x_m +3y_m &=& 42 \quad | \quad *2 \\ \qquad & 12x_m +6y_m &=& 84 \\ (2) \qquad & 2x_m +6y_m &=& 54 \\ \hline (1)+(2): \qquad & 10x_m &=&30 \\ & x_m &=& 3 \\ \hline & 18+3y_m &=& 42\\ & 3y_m &=& 24 \\ & y_m &=& 8 \end{array} $}}\\$$

Berechnung von r:

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} (10-3)^2+(9-8)^2 &=& r^2 \\ 7^2+1^2 &=& r^2 \\ 50 &=& r^2\\ r &=& \sqrt{50} \end{array} $}}$$

Die Kreisgleichung lautet:

$$\boxed{ (x-3)^2+(y-8)^2=50 \qquad M=(3|8) \small{\text{ und }} r = \sqrt{50} }$$

II. Die Tangentengleichungen:

Die Steigung von A nach M: $$m=\frac{y_m-y_a}{x_m-x_a}$$

Die Steigung der Tangente von tA: $$m_{ta}=-\frac{1}{m} = -\frac{x_m-x_a}{y_m-y_a}= -\frac{3-(-2)}{8-3}=-1$$

Die Tangentengleichung tA:

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} (y-y_a)&=&(x-x_a)\cdot m_{ta}\\ (y-3)&=&(x-(-2))\cdot (-1)\\ \rm{ta:} \qquad x+y &=& 1 \end{array} $ }}$$

Die Steigung von M nach B: $$m=\frac{y_b-y_m}{x_b-x_m}$$

Die Steigung der Tangente von tB: $$m_{tb}=-\frac{1}{m} = -\frac{x_b-x_m}{y_b-y_m}= -\frac{10-3)}{9-8}=-7$$

Die Tangentengleichung tB:

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} (y-y_b)&=&(x-x_b)\cdot m_{tb}\\ (y-9)&=&(x-10)\cdot (-7)\\ \rm{tb:} \qquad 7x+y&=& 79 \end{array} $ }}$$

Die Steigung von C nach M: $$m=\frac{y_m-y_c}{x_m-x_c}$$

Die Steigung der Tangente von tC: $$m_{tc}=-\frac{1}{m} = -\frac{x_m-x_c}{y_m-y_c}= -\frac{3-2}{8-15}=\frac{1}{7}$$

Die Tangentengleichung tC:

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} (y-y_c)&=&(x-x_c)\cdot m_{tc}\\ (y-15)&=&(x-2)\cdot \frac{1}{7}\\ \rm{tc:} \qquad x-7y&=& -103 \end{array} $ }}$$

III. Die Ecken des Tangentendreiecks(Schnittpunkte) :

1. Schnittpunkt ( A und C ):

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rrcl} ta:& x+y &=& 1 \\ tc: & x-7y &=& -103 \\ \hline ta-tc:& 8y &=& 104 \\ & y &=& 13 \\ \hline & x &=& 1-y \\ & x &=& 1-13\\ & x &=& -12 \end{array} $ }}$$

1. Schnittpunkt (-12|13)

2. Schnittpunkt ( B und C ):

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rrcl} tb:& 7x+y &=& 79 \quad | \quad \cdot 7\\ & 49x+7y &=& 553 \\ tc: & x-7y &=& -103 \\ \hline tb+tc:& 50x &=& -103+553\\ & 50x &=& 450 \\ & x &=& 9 \\ \hline & 7\cdot 9 + y &=& 79\\ & 63 + y &=& 79 \\ & y &=& 79-63\\ & y &=& 16 \end{array} $ }}$$

2. Schnittpunkt (9|16)

3. Schnittpunkt ( A und B ):

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rrcl} tb:& 7x+y &=& 79 \\ ta: & x+y &=& 1 \\ \hline tb-ta:& 6x &=& 78\\ & x &=& 13 \\ \hline & y &=& 1-x\\ & y &=& 1-13 \\ & y &=& -12\\ \end{array} $ }}$$

3. Schnittpunkt (13|-12)

IV. Die Berechnung der Fläche des Tangentendreiecks:

Die 3 Seiten des Tangentendreiecks:

Seite 1 : $$\small{\text{ $ s_1=\sqrt{ (-12-13)^2+(13-(-12))^2 } = \sqrt{25^2+25^2} =25\sqrt{2} $ }}$$

Seite 2: $$\small{\text{ $ s_2=\sqrt{ (9-13)^2+(16-(-12))^2 } = \sqrt{4^2+28^2} =\sqrt{800} =\sqrt{2\cdot 400} =20\sqrt{2} $ }}$$

Seite 3: $$\small{\text{ $ s_3=\sqrt{ (-12-9)^2+(13-16)^2 } = \sqrt{21^2+3^2} =\sqrt{450} =\sqrt{9\cdot 50} =3\sqrt{50} $ }}$$

Die Fläche:

$$A=A_1+A_2+A_3 \\\\ A_1 =\dfrac{ s_1\cdot r}{2} \qquad A_2 =\dfrac{ s_2\cdot r}{2} \qquad A_3 =\dfrac{ s_3\cdot r}{2}\\\\ A=\dfrac{ s_1\cdot r}{2} + \dfrac{ s_2\cdot r}{2}+ \dfrac{ s_3\cdot r}{2} \\\\ \boxed{A=\dfrac{ r\cdot ( s_1 + s_2 + s_3 ) }{2} }\\\\ \small{\text{ $ A=\dfrac{ \sqrt{50 }\cdot ( 25\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 3\sqrt{50} ) }{2} $ }}\\\\ \small{\text{ $ A=\dfrac{ 25\cdot 10 + 20\cdot 10 + 3\cdot 50 }{2} $ }}\\\\ \small{\text{ $ A=\dfrac{ 250+ 200 + 150 }{2} $}}\\\\ \small{\text{ $ A=\dfrac{ 600 }{2} $}}\\\\ \small{\text{ $ A=300 $}}$$

Hallo Anonymous,

diese Aufgabe ist nicht so schwierig. Allerdings dauert es, den Lösungsweg aufzuschreiben. Schau später noch mal rein.

Den Radius hatte ich ganz vergessen.

Viele Wege führen nach Rom. Heureka hat einen etwas anderen Weg gewählt. Du hast nun sogar die Wahl.

Vielen, vielen lieben Dank!