Integral

Integral von t*e^(-st) dt

$$\int {t\cdot e^{-st} }\ dt =\ ?$$

Wir lösen zuerst folgendes Integral: $$\int { e^{-st} }\ dt$$

$$\\\small{\text{Wir substituieren $u = -s\cdot t \quad du = -s\cdot \ dt \quad dt = -\frac{1}{s}\ du
$}}\\\\
\int { e^{-st} }\ dt = \int{ e^u( -\frac{1}{s})\ du } \\
\int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot \int{ e^u\ du } \quad | \quad \boxed{\int{ e^u\ du } = e^u} \\
\int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot e^u} \\
\boxed{
\int { e^{-st} }\ dt
= -\frac{1}{s}\cdot e^{-st}} }$$

Nun können wir unser Integral  $$\int {t\cdot e^{-st} }\ dt$$   lösen:

$$\small{\text{Wir wenden folgende Regel an:
$
\boxed{\int{u\cdot v'} = u\cdot v - \int{u'\cdot v} }
$}}\\\\
\small{\text{
Wir setzen :
$\boxed{ u = t
\quad u' = 1 }
\qquad \boxed{ v' = e^{-st}
\quad v = \int{v'} = \int{e^{-st}\ dt }
= -\frac{1}{s}\cdot e^{-st} }
$
}}\\\\
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = t \cdot( -\frac{1}{s}\cdot e^{-st} ) - \int{1 \cdot ( -\frac{1}{s}\cdot e^{-st}) }\ dt \\\\
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\frac{t}{s}\cdot e^{-st} + \frac{1}{s} \cdot \int{ e^{-st} }\ dt \\\\
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\frac{t}{s}\cdot e^{-st} + \frac{1}{s} \cdot (-\frac{1}{s}\cdot e^{-st}) \\\\
\boxed{
\int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\dfrac{t}{s}\cdot e^{-st} - \dfrac{1}{s^2} \cdot e^{-st} + c }$$