Integral

Integral von t*e^(-st) dt

$$\int {t\cdot e^{-st} }\ dt =\ ?$$

Wir lösen zuerst folgendes Integral: $$\int { e^{-st} }\ dt$$

$$\\\small{\text{Wir substituieren $u = -s\cdot t \quad du = -s\cdot \ dt \quad dt = -\frac{1}{s}\ du $}}\\\\ \int { e^{-st} }\ dt = \int{ e^u( -\frac{1}{s})\ du } \\ \int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot \int{ e^u\ du } \quad | \quad \boxed{\int{ e^u\ du } = e^u} \\ \int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot e^u} \\ \boxed{ \int { e^{-st} }\ dt = -\frac{1}{s}\cdot e^{-st}} }$$

Nun können wir unser Integral   $$\int {t\cdot e^{-st} }\ dt$$    lösen:

$$\small{\text{Wir wenden folgende Regel an: $ \boxed{\int{u\cdot v'} = u\cdot v - \int{u'\cdot v} } $}}\\\\ \small{\text{ Wir setzen : $\boxed{ u = t \quad u' = 1 } \qquad \boxed{ v' = e^{-st} \quad v = \int{v'} = \int{e^{-st}\ dt } = -\frac{1}{s}\cdot e^{-st} } $ }}\\\\ \int { t\cdot e^{-st} }\ dt = t \cdot( -\frac{1}{s}\cdot e^{-st} ) - \int{1 \cdot ( -\frac{1}{s}\cdot e^{-st}) }\ dt \\\\ \int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\frac{t}{s}\cdot e^{-st} + \frac{1}{s} \cdot \int{ e^{-st} }\ dt \\\\ \int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\frac{t}{s}\cdot e^{-st} + \frac{1}{s} \cdot (-\frac{1}{s}\cdot e^{-st}) \\\\ \boxed{ \int { t\cdot e^{-st} }\ dt = -\dfrac{t}{s}\cdot e^{-st} - \dfrac{1}{s^2} \cdot e^{-st} + c }$$