+26397 Was ist das Integral von Sinus^-1 ?
$$\small{\text{
$
\boxed{
\int{
\frac{1}{\sin{(x)}}
}\ dx
=
\int{
\frac{1}{ 2\sin{( \frac{x}{2} )}\cdot \cos{( \frac{x}{2} )} }
}\ dx
}
$}}$$
Wir substituieren mit
$$\small{\text{ $ u=\tan{( \frac{x}{2} )}
\qquad du = \dfrac{d \left(\tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right)} \right) } {dx}
\qquad du = \dfrac{d \left(
\frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
\right) } {dx} \qquad
\boxed{ \left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}
}
$}}\\\\
\small{\text{$
\dfrac{d \left(
\frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
\right) } {dx}
=
\dfrac{
\frac{1}{2}\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }\cdot (- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \cdot \frac{1}{2})
}
{ \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
= \dfrac{1}{ 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{
du = \dfrac{1}
{
2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
\cdot \ dx
\qquad dx = 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du
}
$
}}$$
$$\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
=
\int{
\dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} }
}\ dx
=
\int{
\dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} }
} \cdot 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du
$}}\\\\
\small{\text{
$
=\int{ \dfrac{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du }
= \int{ \dfrac{ 1 }{ \tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du }
=\int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du }
$
}}$$
Wir substituieren erneut
$$\small{\text{ $ e^w = u
\qquad e^w\cdot dw = du
$
}}$$
$$\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du }
=\int{ \dfrac{ 1 }{ e^w } e^w\ dw }
=\int{\ dw } = w
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{w = \ln{(u)}}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \ln{(u)}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{ u=\tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} }
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \ln{ \left( \tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} \right)} + c
$
}}\\\\$$
+1119 1/sin(x) integriert ist ln (tan(x/2)) +c
wenn du eine Erklärung brauchst sag bescheid :D
gruß
+14538 
!+1119 ist doch richtig
laut logarithmengesetzte gilt: log a- log b= log ( a/b)
in deinem Falle:
Log( Sin(x/2) / cos(x/2))= log tan (x/2)
ich denke welchen logarithmus man nimmt ist egal:)
gruß
+26397 Was ist das Integral von Sinus^-1 ?
$$\small{\text{
$
\boxed{
\int{
\frac{1}{\sin{(x)}}
}\ dx
=
\int{
\frac{1}{ 2\sin{( \frac{x}{2} )}\cdot \cos{( \frac{x}{2} )} }
}\ dx
}
$}}$$
Wir substituieren mit
$$\small{\text{ $ u=\tan{( \frac{x}{2} )}
\qquad du = \dfrac{d \left(\tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right)} \right) } {dx}
\qquad du = \dfrac{d \left(
\frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
\right) } {dx} \qquad
\boxed{ \left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}
}
$}}\\\\
\small{\text{$
\dfrac{d \left(
\frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }
\right) } {dx}
=
\dfrac{
\frac{1}{2}\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }\cdot (- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \cdot \frac{1}{2})
}
{ \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
= \dfrac{1}{ 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{
du = \dfrac{1}
{
2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }
}
\cdot \ dx
\qquad dx = 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du
}
$
}}$$
$$\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
=
\int{
\dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} }
}\ dx
=
\int{
\dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} }
} \cdot 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du
$}}\\\\
\small{\text{
$
=\int{ \dfrac{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du }
= \int{ \dfrac{ 1 }{ \tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du }
=\int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du }
$
}}$$
Wir substituieren erneut
$$\small{\text{ $ e^w = u
\qquad e^w\cdot dw = du
$
}}$$
$$\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du }
=\int{ \dfrac{ 1 }{ e^w } e^w\ dw }
=\int{\ dw } = w
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{w = \ln{(u)}}
$}}\\\\
\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \ln{(u)}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{ u=\tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} }
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx
= \ln{ \left( \tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} \right)} + c
$
}}\\\\$$
+1119 Danke heureka,
mein Kopf brennt grade :D Ich versteh immer die Schritte die alle mit dem Halbwinkel machen, aber die Überlegung zu dem Halbwinkel fehlen mir grad völlig: Kann man es auch noch anders machen?
Ich bin grade bei 3 Seiten rechnen angekommen und bin kein stück weiter....
Aber ja, man kann noch sin(x) und x=2u machen und dann hat man die Formel: 2*cos(x)*sin(x)... ist ja quasi das selbe...
anders gehts nicht oder???
gruß
+26397 Hallo gandalfthegreen,
hier wird das Additionstheorem angewendet:
$$\boxed{\sin ( x + y ) = \sin (x ) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y) }\\ \\
\small{\text{Wir setzen $y=x$ ein und erhalten: }} \\
\sin ( x + x ) = \sin (x ) \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \sin(x) \\
\small{\text{Nun fassen wir zusammen: }} \\
\sin ( x + x ) = 2\cdot \sin (x ) \cdot \cos(x) \\
\small{\text{Wir substituieren nun $x$ mit $\dfrac{z}{2}$ und erhalten: }} \\
\sin ( \dfrac{z}{2} + \dfrac{z}{2} ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) \\ \\
\small{\text{Nun fassen wir wieder zusammen: }} \\\\
\sin ( 2\cdot \dfrac{z}{2} ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) \\ \\
\small{\text{Letztendlich: }} \\\\
\boxed{ \sin ( z ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) }$$
