Was ist das Integral von Sinus^-1

Was ist das Integral von Sinus^-1 ?

$$\small{\text{ $ \boxed{ \int{ \frac{1}{\sin{(x)}} }\ dx = \int{ \frac{1}{ 2\sin{( \frac{x}{2} )}\cdot \cos{( \frac{x}{2} )} } }\ dx } $}}$$

Wir substituieren mit

  $$\small{\text{ $ u=\tan{( \frac{x}{2} )} \qquad du = \dfrac{d \left(\tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right)} \right) } {dx} \qquad du = \dfrac{d \left( \frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } { \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \right) } {dx} \qquad \boxed{ \left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u'v-uv'}{v^2} } $}}\\\\ \small{\text{$ \dfrac{d \left( \frac{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } { \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \right) } {dx} = \dfrac{ \frac{1}{2}\cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \cdot \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } - \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) }\cdot (- \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \cdot \frac{1}{2}) } { \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } = \dfrac{1}{ 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } $}}\\\\ \small{\text{ $ \boxed{ du = \dfrac{1} { 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \cdot \ dx \qquad dx = 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du } $ }}$$

$$\small{\text{ $ \int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx = \int{ \dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} } }\ dx = \int{ \dfrac{1}{ 2\sin{( \dfrac{x}{2} )}\cdot \cos{( \dfrac{x}{2} )} } } \cdot 2\cdot \cos^2{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } \ du $}}\\\\ \small{\text{ $ =\int{ \dfrac{ \cos{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } }{ \sin{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du } = \int{ \dfrac{ 1 }{ \tan{ \left( \dfrac{x}{2} \right) } } \ du } =\int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du } $ }}$$

Wir substituieren erneut

$$\small{\text{ $ e^w = u \qquad e^w\cdot dw = du $ }}$$

$$\small{\text{ $ \int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx = \int{ \dfrac{ 1 }{ u } \ du } =\int{ \dfrac{ 1 }{ e^w } e^w\ dw } =\int{\ dw } = w $ }}\\\\ \small{\text{ $ \boxed{w = \ln{(u)}} $}}\\\\ \small{\text{ $ \int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx = \ln{(u)} $ }}\\\\ \small{\text{ $ \boxed{ u=\tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} } $ }}\\\\ \small{\text{ $ \int{ \dfrac{1}{\sin{(x)}} }\ dx = \ln{ \left( \tan{ \left( \frac{x}{2} \right)} \right)} + c $ }}\\\\$$

Hallo Gandalf,

mein Rechner zeigt mir dieses Ergebnis.

Eine Erklärung dafür habe ich leider nicht.

Gruß radix !

Danke Gandalf,

das habe ich nun kapiert !

Gruß radix !

Hallo gandalfthegreen,

hier wird das Additionstheorem angewendet:

$$\boxed{\sin ( x + y ) = \sin (x ) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y) }\\ \\ \small{\text{Wir setzen $y=x$ ein und erhalten: }} \\ \sin ( x + x ) = \sin (x ) \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \sin(x) \\ \small{\text{Nun fassen wir zusammen: }} \\ \sin ( x + x ) = 2\cdot \sin (x ) \cdot \cos(x) \\ \small{\text{Wir substituieren nun $x$ mit $\dfrac{z}{2}$ und erhalten: }} \\ \sin ( \dfrac{z}{2} + \dfrac{z}{2} ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) \\ \\ \small{\text{Nun fassen wir wieder zusammen: }} \\\\ \sin ( 2\cdot \dfrac{z}{2} ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) \\ \\ \small{\text{Letztendlich: }} \\\\ \boxed{ \sin ( z ) = 2\cdot \sin (\dfrac{z}{2} ) \cdot \cos(\dfrac{z}{2}) }$$