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Wie löst man folgende Gleichung nach dem Winkel x auf: 0,9cosx-0,75sinx=0,18

$$0,9\cdot \cos(x)-0,75\cdot \sin(x)=0,18 \qquad | \qquad : 0,9 \\\\ \boxed{ \cos(x) -\frac{0,75}{0,9} \cdot \sin(x)=0,2 } \\\\\\ \small{\text{ Wir setzen einen Hilfswinkel $\varepsilon$ mit $\tan(\varepsilon)= -\frac{0,75}{0,9}$ }}\\\\ \small{\text{ $\cos(x) + \tan(\varepsilon) \cdot \sin(x)=0,2 } $}}\\ \small{\text{ $\cos(x) + \dfrac{\sin(\varepsilon)}{ \cos(\varepsilon) } \cdot \sin(x)=0,2 } \quad | \quad \cdot \cos(\varepsilon) $}}\\\\ \small{\text{ $ \cos(\varepsilon)\cdot \cos(x) + \sin(\varepsilon) \cdot \sin(x) =0,2\cdot \cos(\varepsilon) } $}}\\ \small{\text{Anwendung des Additionstheorems: $\cos(\varepsilon-x) = cos(\varepsilon)\cdot \cos(x) + \sin(\varepsilon) \cdot \sin(x) $}}\\\\ \small{\text{ $ \boxed{ \cos(\varepsilon-x) =0,2\cdot \cos(\varepsilon) } } $ }}\\ \small{\text{Wir berechnen $\varepsilon: \varepsilon = \arctan\left( \dfrac{-0.75}{0.9} \right) = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}} $}}\\\\ \small{\text{ $\cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}} -x) =0,2\cdot \cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}) \quad | \quad \cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}) = 0.76822127960 $}}\\ \small{\text{ $\cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}} -x) =0,2\cdot 0.76822127960 $}}\\ \small{\text{ $\cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}} -x) =0.15364425592 \quad | \quad \pm \arccos() $}}\\ \small{\text{ $ -39.8055710923\ensurement{^{\circ}} -x = \pm 81.1618239918\ensurement{^{\circ}} $}}\\ \small{\text{ $ x = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}}\pm 81.1618239918\ensurement{^{\circ}} $}}\\ \small{\text{ $ x_1 = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}} + 81.1618239918\ensurement{^{\circ}} = 41.3562528996\ensurement{^{\circ}} $}}\\ \small{\text{ $ x_2 = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}} - 81.1618239918\ensurement{^{\circ}} = -120.967395084\ensurement{^{\circ}} $}}\\$$

Probe:

0,9 * cos(41,3562528996)-0,75 * sin(41,3562528996)=0,18 ?
0,9 * 0.75061578300 - 0,75 * 0.66073893960 = 0.67555420470 -0.49555420470 = 0,18 (OKAY!)

0,9 * cos(-120.967395084)-0,75 * sin(-120.967395084)=0,18 ? 
0,9 * (-0.51455020923) - 0,75 * ( -0.85746025108 ) = -0.46309518831 + 0.64309518831 = 0,18 (OKAY!)

Warum ergibt jede ungerade Zahl (ab 3), mit sich selbst multipliziert,

stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest ?

$$\small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl kann man auch schreiben: $2n+1$}}\\ \small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl zum Quadrat kann man auch schreiben: $(2n+1)^2 \quad $ wobei $n \ge 1 $ gelten soll.}}\\ \small{\text{Man kann nun das Binom aufl$\"o$sen, wie es gandalfthegreen getan hat: $4n^2+4n+1$}}\\ \small{\text{Somit sieht man schon, durch die 1 am Ende, das wir immer den Rest 1 haben.}}\\ \small{\text{Wir formen zun$\"a$chst mal um und erhalten $4(n^2+n) + 1$}}\\ \small{\text{Durch eine weitere Umformung erhalten wir $4\cdot n(n+1) + 1$}}$$

$$\small{\text{$n\cdot (n+1 )$ sind benachbarte Zahlen, von denen man sagen kann:}}\\ \small{\text{eine ist immer gerade und die andere ungerade!}}\\ \small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl kann man auch schreiben: $2m+1$}}\\ \small{\text{F$\"u$r eine gerade Zahl kann man auch schreiben: $2m$}}\\ \small{\text{F$\"u$r zwei benachbarte Zahlen $n\cdot (n+1 )$ kann man also auch schreiben: $2m\cdot (2m+1) $}}\\ \small{\text{Oder, was das Gleiche w\"are $ (2m-1)\cdot 2m $}}\\ \small{\text{Fassen wir jetzt unser Ergebnis zusammen:}}\\ \small{\text{F$\"u$r $4\cdot n(n+1) + 1$ schreiben wir nun $4\cdot 2\cdot m\cdot (2m\pm 1) +1$}}\\ \small{\text{und erhalten: \boxed{ $ 8\cdot m\cdot (2m\pm 1) +1$}}}$$

Somit ist unsere ungerade Zahl zum Quadrat stets ein Vielfaches von 8 mit dem Rest 1 für jede ungerade Zahl ab 3.

How many positive integers less than 500 are the product of exactly
two distinct (meaning different) primes, each of which is greater than 10 ?

$$\small{\text{ $ \begin{array}{r|rcl|r} \hline n & p_1 & & p_2 & p_1\cdot p_2 \\ \hline 1 & 11 & \cdot & 13 & = 143 \\ 2 & 11 & \cdot & 17 & = 187 \\ 3 & 11 & \cdot & 19 & = 209 \\ 4 & 11 & \cdot & 23 & = 253 \\ 5 & 11 & \cdot & 29 & = 319 \\ 6 & 11 & \cdot & 31 & = 341 \\ 7 & 11 & \cdot & 37 & = 407 \\ 8 & 11 & \cdot & 41& = 451 \\ 9 & 11 & \cdot & 43 & = 473 \\ 10 & 13 & \cdot & 17 & = 221 \\ 11 & 13 & \cdot & 19 & = 247 \\ 12 & 13 & \cdot & 23 & = 299 \\ 13 & 13 & \cdot & 29& = 377 \\ 14 & 13 & \cdot & 31 & = 403 \\ 15 & 13 & \cdot & 37 & = 481 \\ 16 & 17 & \cdot & 19 & = 323 \\ 17 & 17 & \cdot & 23 & = 391 \\ 18 & 17 & \cdot & 29 & = 493 \\ 19 & 19 & \cdot & 23 & = 437 \\ \hline \end{array} $ }}$$

Das Produkt aus Summe und Differenz zweier 1-stelliger Zahlen ist 16. Was sind die 2 Zahlen

$$(c+a)(c-a) = 16 \\c^2 - a^2 = 16 = 4^2 \\ \\ \boxed{c^2 = a^2 + 4^2 } \qquad \small{\text{Gesucht ist ein pythagor\"aisches Tripel mit der Zahl 4,}}\\ \small{\text{wobei negative Zahlen nicht ausgeschlossen wurden. }}\\ \small{\text{F\"ur beliebige Werte f\"ur m und n lassen sich pythagoreische Tripel erzeugen: }}\\ \small{\text{$a := m^2 - n^2 \qquad b := 2mn \qquad c = m^2 + n^2 $ }}$$

b soll 4 sein:  

$$\small{\text{$4 = b = 2\cdot m\cdot n $ }}\\ \small{\text{Es gibt z.B. folgende L\"osungen: }}\\ \small{\text{$m=1 \quad n=2 \quad (2*1*2 = 4) \qquad a = 1^2-2^2 = -3 \quad c = 1^2+2^2 = 5$ }}\\ \small{\text{$m=2 \quad n=1 \quad (2*2*1 = 4) \qquad a = 2^2-1^2 = 3 \quad c = 2^2+1^2 = 5$ }}$$

I.  c = 5 und a = 3         (5+3)(5-3) = 8*2 = 16

II. c = 5 und a = -3       (5+(-3))(5-(-3)) = (5-3)(5+3) = 2*8 = 16

III. c = -5 und a = 3      (-5+3)(-5-3) =(-2)*(-8)= 16

IV. c = -5 und a = -3     (-5-3)(-5-(-3)) = (-8)*(-2) = 16

Finden Sie a,b,c>0, so dass gilt:

(18x+13z)2−121=(ax+13z+11)(−11+bx+cz).

Wie muss ich hier umstellen um auf A, B,C zu kommen ?

Lösung durch Koeffizientenvergleich!

$$\textcolor[rgb]{0,0,1}{(18x+13z)^2 - 121} = 18^2*\textcolor[rgb]{1,0,0}{x^2}+ 2\cdot18 \cdot 13 \textcolor[rgb]{1,0,0}{\cdot x\cdot z} + 13\cdot 13 \cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{z^2 }-\textcolor[rgb]{1,0,0}{121} \\ \small{\text{Es existiert ein $x^2$ Term, ein $x\cdot z$ Term und ein $z^2$ Term sowie die Konstante 121. }}$$

$$\textcolor[rgb]{0,0,1}{(ax+13z+11)(bx+cz -11)}=a\cdot b \cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{x^2}+ (a\cdot c+13b)\cdot \textcolor[rgb]{1,0,0}{x\cdot z}+(-11a+11b)\cdot \textcolor[rgb]{0,1,0}{x} + (13 c)\textcolor[rgb]{1,0,0}{z^2} + (11c-11\cdot 13)\cdot \textcolor[rgb]{0,1,0}{z} - \textcolor[rgb]{1,0,0}{121}\\ \small{\text{Der Koeffizientenvergleich sagt uns, das der $x$ Term, und der $z$ Term verschwinden m\"ussen. }}\\ \small{\text{Das geht nur, wenn $(-11a+11b)=0$ und $(11c-11\cdot 13) = 0$ sind. }}\\ \small{\text{ $(-11a+11b)=0 \quad | \quad +11a$ }}\\ \small{\text{ $11b =11a $ }}\\ \boxed{\small{\text{ $b =a $ }}}\\ \small{\text{ $(11c-11\cdot 13) = 0\quad | \quad +11\cdot 13$ }}\\ \small{\text{ $11c =11\cdot 13 $ }}\\ \boxed{\small{\text{ $c =13 $ }}}$$

Desweiteren gilt der Koeffizient am x*z Term müssen gleich sein:

$$\small{\text{ $ 2\cdot 18\cdot 13 = (a\cdot c + 13 b) \quad | \quad $ wir haben $a = b $ und $ c = 13 $ }} \\ \small{\text{ $ 2\cdot 18\cdot 13 = b\cdot 13 + 13 b \quad | \quad :13 \\ $ }}\\ \small{\text{ $ 2\cdot 18= b+ b = 2b \quad | \quad :2 $ }}\\ \small{\text{ $ 18= b $ }}\\ \boxed{ \small{\text{ $ b= 18 \qquad $ da $b = a$ ist, haben wir somit auch $\quad a=18$ }}}$$

Make U the subject in:S= U*V / U + V (this being a fraction).

$$\small{\text{$ S= \dfrac{ U\cdot V } { U + V } $}}\\\\ \small{\text{$ \dfrac{1}{S}= \dfrac{ U + V } { U\cdot V } $}}\\\\ \small{\text{$ \dfrac{1}{S}= \dfrac{ U } { U\cdot V } + \dfrac{ V } { U\cdot V } $}}\\\\ \boxed{\small{\text{$ \dfrac{1}{S}= \dfrac{ 1 } { V } + \dfrac{ 1 } { U } $}}}\\\\ \small{\text{$ \dfrac{1}{U}= \dfrac{ 1 } { S } - \dfrac{ 1 } { V } $}}\\\\ \small{\text{$ \dfrac{1}{U}= \dfrac{ V-S } { V\cdot S } $}}\\\\ \boxed{ \small{\text{$ U= \dfrac{ V\cdot S } { V-S } $}}}$$

In a polar coordinate system ,O is the pole.The polar coordinates of A and B are(6,15) and (6,255) respectively.P is a moving point in the system such that PA=PB.If Q is a point lying on P such that OABQ is a rhombus , find polar coordinates of Q

$$\small{\text{$ \vec{Q}=\vec{A}+\vec{B} $, because $|\vec{A}| = |\vec{B}| = 6 = r \quad$ Q lies on the bisectors of an angle by O }}\\\\ \small{\text{ $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}r\cdot \cos{(15)}\\r\cdot \sin{(15)}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}6\cdot \cos{(15)}\\6\cdot \sin{(15)}\end{array} \right)$ }}\\ \small{\text{ $\vec{B}= \left( \begin{array}{c}r\cdot \cos{(255)}\\r\cdot \sin{(255)}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}6\cdot \cos{(255)}\\6\cdot \sin{(255)}\end{array} \right) $ }}\\\\ \small{\text{$ \vec{Q}=\vec{A}+\vec{B} = \left( \begin{array}{c}6\cdot \cos{(15)}\\6\cdot \sin{(15)}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}6\cdot \cos{(255)}\\6\cdot \sin{(255)}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6\cdot \cos{(15)} + 6\cdot \cos{(255)} \\ 6\cdot \sin{(15)} + 6\cdot \sin{(255)} \end{array} \right) $}}\\\\ \small{\text{$ = \left( \begin{array}{c} 4.24264068712 \\ -4.24264068712 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \sqrt{18} \\ - \sqrt{18} \end{array} \right) $}}$$

polar coordinates of Q

$$\small{\text{ $ \vec{Q}= \left(\begin{array}{c} Q_x =\sqrt{18}\\ Q_y=-\sqrt{18} \end{arry} \right) \qquad r = \sqrt{ Q_x^2 + Q_y^2 } = \sqrt{18+18} = 6 $ }}\\\\ \small{\text{ $ \tan{(\varphi)} = \dfrac{Q_y}{ Q_x} = \dfrac{-\sqrt{18}}{\sqrt{18}} = -1 \qquad\varphi = -45\ensurement{^{\circ}} $ or $ \varphi = 315\ensurement{^{\circ}} $ }}\\\\ \vec{Q}=(6, 315\ensurement{^{\circ}} )$$

The points A(5,-3), B(-2,4) and C(-1,7) are three vertices of a parallelogram ABCD. Find the coordinates of vertex D.

$$\vec{D}=\vec{B} + (\vec{A}- \vec{B}) + (\vec{C}- \vec{B}) \\ \vec{D}=\not{ \vec{B} } + \vec{A} -\not{ \vec{B}} + (\vec{C}- \vec{B}) \\ \boxed{ \vec{D}=\vec{A} + (\vec{C}- \vec{B}) }\\\\ \vec{D}= \left( \begin{array}{c} 5\\-3\end{array} \right) + ( \left( \begin{array}{c} -1\\7\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -2\\4\end{array} \right) )\\\\ \vec{D}= \left( \begin{array}{c} 5+(-1)-(-2)\\-3+7-4\end{array} \right)\\\\ \vec{D}= \left( \begin{array}{c} 5-1+2\\0\end{array} \right)\\\\ \vec{D}= \left( \begin{array}{c}6\\0\end{array} \right)\\\\$$

What is the integral 1/x ?

$$\small{\text{ We substitute : $ x = e^u \qquad \ dx = e^u\ du $ }}\\ \small{\text{ $\int {\frac{1}{x} }\ dx = \int{\frac{1}{e^u} }\cdot e^u \ du = \int{1}\ du = u $ }}\\\\ \small{\text{Back substitute : $\int {\frac{1}{x} }\ dx = u \qquad u = \ln{(x)} $ }}\\ \small{\text{ $\int {\frac{1}{x} }\ dx = \ln{(x)} + c $ }}$$

5• 3, 8, 15, 24, 35, .............

$$3, 8, 15, 24, 35, \textcolor[rgb]{1,0,0}{48} \qquad T_n = n\cdot(n+2) \quad n=1,2, \cdots$$