Warum ergibt jede ungerade Zahl (ab 3), mit sich selbst multipliziert, stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest?
+1119 Habe ich mir vorher noch keine Gedanken gemacht, aber vllt Hilft Dir das:
2n+1 ist ein Ausdruck für eine ungerade Zahl.
(2n+1)*(2n+1) ist mit sich selbst multipliziert
aufgelöst:
4n² + 4n+1
da hast du (4n +1) also gilt das erst mal für alle Vielfache von 4 und 8 Ist auch ein vielfaches von 8
so würde ich das jetzt einfach mal sagen, aber vllt ist es auch falsch;)
und es gibt ein anderen Beweis.
gruß
+26367 Warum ergibt jede ungerade Zahl (ab 3), mit sich selbst multipliziert,
stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest ?
$$\small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl kann man auch schreiben: $2n+1$}}\\
\small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl zum Quadrat kann man auch schreiben: $(2n+1)^2 \quad $ wobei $n \ge 1 $ gelten soll.}}\\
\small{\text{Man kann nun das Binom aufl$\"o$sen, wie es gandalfthegreen getan hat: $4n^2+4n+1$}}\\
\small{\text{Somit sieht man schon, durch die 1 am Ende, das wir immer den Rest 1 haben.}}\\
\small{\text{Wir formen zun$\"a$chst mal um und erhalten $4(n^2+n) + 1$}}\\
\small{\text{Durch eine weitere Umformung erhalten wir $4\cdot n(n+1) + 1$}}$$
$$\small{\text{$n\cdot (n+1 )$ sind benachbarte Zahlen, von denen man sagen kann:}}\\
\small{\text{eine ist immer gerade und die andere ungerade!}}\\
\small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl kann man auch schreiben: $2m+1$}}\\
\small{\text{F$\"u$r eine gerade Zahl kann man auch schreiben: $2m$}}\\
\small{\text{F$\"u$r zwei benachbarte Zahlen $n\cdot (n+1 )$ kann man also auch schreiben: $2m\cdot (2m+1) $}}\\
\small{\text{Oder, was das Gleiche w\"are $ (2m-1)\cdot 2m $}}\\
\small{\text{Fassen wir jetzt unser Ergebnis zusammen:}}\\
\small{\text{F$\"u$r $4\cdot n(n+1) + 1$ schreiben wir nun $4\cdot 2\cdot m\cdot (2m\pm 1) +1$}}\\
\small{\text{und erhalten: \boxed{ $ 8\cdot m\cdot (2m\pm 1) +1$}}}$$
Somit ist unsere ungerade Zahl zum Quadrat stets ein Vielfaches von 8 mit dem Rest 1 für jede ungerade Zahl ab 3.
