Warum ergibt jede ungerade Zahl (ab 3), mit sich selbst multipliziert, stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest?

Warum ergibt jede ungerade Zahl (ab 3), mit sich selbst multipliziert,

stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest ?

$$\small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl kann man auch schreiben: $2n+1$}}\\ \small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl zum Quadrat kann man auch schreiben: $(2n+1)^2 \quad $ wobei $n \ge 1 $ gelten soll.}}\\ \small{\text{Man kann nun das Binom aufl$\"o$sen, wie es gandalfthegreen getan hat: $4n^2+4n+1$}}\\ \small{\text{Somit sieht man schon, durch die 1 am Ende, das wir immer den Rest 1 haben.}}\\ \small{\text{Wir formen zun$\"a$chst mal um und erhalten $4(n^2+n) + 1$}}\\ \small{\text{Durch eine weitere Umformung erhalten wir $4\cdot n(n+1) + 1$}}$$

$$\small{\text{$n\cdot (n+1 )$ sind benachbarte Zahlen, von denen man sagen kann:}}\\ \small{\text{eine ist immer gerade und die andere ungerade!}}\\ \small{\text{F$\"u$r eine ungerade Zahl kann man auch schreiben: $2m+1$}}\\ \small{\text{F$\"u$r eine gerade Zahl kann man auch schreiben: $2m$}}\\ \small{\text{F$\"u$r zwei benachbarte Zahlen $n\cdot (n+1 )$ kann man also auch schreiben: $2m\cdot (2m+1) $}}\\ \small{\text{Oder, was das Gleiche w\"are $ (2m-1)\cdot 2m $}}\\ \small{\text{Fassen wir jetzt unser Ergebnis zusammen:}}\\ \small{\text{F$\"u$r $4\cdot n(n+1) + 1$ schreiben wir nun $4\cdot 2\cdot m\cdot (2m\pm 1) +1$}}\\ \small{\text{und erhalten: \boxed{ $ 8\cdot m\cdot (2m\pm 1) +1$}}}$$

Somit ist unsere ungerade Zahl zum Quadrat stets ein Vielfaches von 8 mit dem Rest 1 für jede ungerade Zahl ab 3.