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how do you work out 2 to the power of 2.1?, do i do 2.1 * 2.1, or 2.1 *2

\(\begin{array}{rcll} 2^{2.1} &=& 2^{2+0.1} \\ &=& 2^2\cdot 2^{0.1} \\ &=& 4\cdot 2^{0.1} \\ &=& 4\cdot 2^{\frac{1}{10}} \\ &=& 4\cdot \sqrt[10]{2} \\ &=& 4\cdot 1.07177346254 \\ &=& 4.28709385015 \\ \end{array}\)

please help with question 5, thank you.

(a)

\(\begin{array}{rcll} s(t) &=& \sin{(e^t)} \\\\ v(t) &=& s'(t) \\ v(t) &=& \cos{(e^t)}\cdot e^t \\ \mathbf{ v(t) }& \mathbf{=} & \mathbf{e^t \cdot \cos{(e^t)} } \\\\ a(t) &=& v'(t) \\ a(t) &=& e^t \cdot [ -\sin{(e^t)}\cdot e^t ] + e^t\cdot \cos{(e^t)} \\ \mathbf{a(t) }&\mathbf{=} &\mathbf{ e^t \cdot [ \cos{(e^t)} - e^t\cdot\sin{(e^t)} ] }\\ \end{array}\)

(b)

\(\begin{array}{rcll} \mathbf{ v(t) }& \mathbf{=} & \mathbf{e^t \cdot \cos{(e^t)} } \\\\ 0 & = & \underbrace{e^t}_{=0\ \text{ impossible} } \cdot \underbrace{ \cos{(e^t)} }_{=0} \\ \cos{(e^t)} &= & 0 \qquad & | \qquad \arccos{()}\\ e^t &= & \arccos{(0)}\\ e^t &= & \frac{\pi}{2} \qquad & | \qquad \ln{()}\\ \ln{( e^t )} &= & \ln{(\frac{\pi}{2})} \\ t \cdot \ln{( e )} &= & \ln{(\frac{\pi}{2})} \qquad & | \qquad \ln{(e)} = 1\\ t &= & \ln{(\frac{\pi}{2})} \\ \mathbf{ t } & \mathbf{=} & \mathbf{0.45158270529\ \text{ seconds} }\\ \end{array}\)

(c)

\(\begin{array}{rcll} \mathbf{a(t) }&\mathbf{=} &\mathbf{ e^t \cdot [ \cos{(e^t)} - e^t\cdot\sin{(e^t)} ] }\qquad & | \qquad t = 0.45158270529\ \text{ seconds}\\ a(0.45158270529) & = & e^t \cdot [ \cos{(e^t)} - e^t\cdot\sin{(e^t)} ] \qquad & | \qquad e^t = \frac{\pi}{2}\\ a(0.45158270529) & = & \frac{\pi}{2} \cdot [ \cos{(\frac{\pi}{2})} - \frac{\pi}{2}\cdot \sin{(\frac{\pi}{2})} ] \qquad & | \qquad \sin{(\frac{\pi}{2})} = 1\\ a(0.45158270529) & = & \frac{\pi}{2} \cdot [ \cos{(\frac{\pi}{2})} - \frac{\pi}{2}\cdot 1 ] \qquad & | \qquad \cos{(\frac{\pi}{2})} = 0\\ a(0.45158270529) & = & \frac{\pi}{2} \cdot [ 0 - \frac{\pi}{2}\cdot 1 ] \qquad & | \qquad \cos{(\frac{\pi}{2})} = 0\\ a(0.45158270529) & = & \frac{\pi}{2} \cdot ( - \frac{\pi}{2} ) \\ a(0.45158270529) & = & - \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \\ a(0.45158270529) & = & - \frac{\pi^2}{4}\\ \mathbf{ a(0.45158270529) }& \mathbf{=} & \mathbf{ - 2.46740110027\ \frac{\text{feet}}{ \text{second} } }\\ \end{array}\)

und noch eine frage habe als nächstes dann
1/-2+2i = -1-i/4

ich komme aber auf 1-2i/4-4i^²
und 2i und 4i² kann ich doch nicht kürzen das oben i und unten alles wegfällt oder ?

\(\begin{array}{rcll} \frac{1} {-2+2i} &=& \left(\frac{1} {-2+2i}\right) \cdot \left( \frac{-2-2i} {-2-2i} \right) \\ &=& \frac{-2-2i} {(-2+2i)\cdot(-2-2i)} \quad & | \quad 3. \text{ binom: } (-2+2i)\cdot(-2-2i) = (-2)^2 -(2i)^2\\ &=& \frac{-2-2i} {(-2)^2 -(2i)^2} \\ &=& \frac{-2-2i} {4 -4\cdot i^2} \quad & | \quad i^2 = -1\\ &=& \frac{-2-2i} {4 -4\cdot (-1)} \\ &=& \frac{-2-2i} {4 + 4 } \\ &=& \frac{-2-2i} { 8 } \\ &=& 2\cdot \left(\frac{-1-i} { 8 } \right)\\ &=& \frac28 \cdot ( -1-i )\\ &=& \frac14 \cdot ( -1-i )\\ &=& ( -1-i ) \cdot \frac14 \\ &=& -\frac{1}{4} - \frac{i}{4}\\ \end{array}\)

Area = 56 cm² Side = ? (In a square)

s = side

A = Area

\(\begin{array}{rcll} s^2 &=& A \\ s &=& \sqrt{A} \\ s &=& \sqrt{56\ cm^2} \\ s &=& \sqrt{56}\ cm\\ s &=& 7.48331477355\ cm\\ \end{array}\)

The Side in the square is 7.48 cm

A system of equations is shown below. y = 4x y = x – 6 What is the x­ value in the solution to the system?

\(\begin{array}{rcll} (1) & y &=& 4x \\ (2) & y &=& x - 6 \\ \hline \\ (1) = (2) & y &=& 4x = x - 6 \\ & 4x &=& x - 6 \qquad & |\qquad -x \\ & 4x-x &=& - 6 \\ & 3x &=& - 6 \qquad & |\qquad :3 \\ & x &=& \frac{- 6}{3} \\ & \mathbf{ x }&\mathbf{=}& \mathbf{-2} \\\\ & y &=& 4x \\ & y &=& 4\cdot(-2) \\ & \mathbf{y} &\mathbf{=}& \mathbf{-8} \end{array}\)

1+3i+3i^2+i^3 wie komme ich auf -2+2i ?

muss ich alles mit klammern auftrennen und i^2 z.B. durch -1 ersetzen ?

\(\begin{array}{rcll} 1+3i+3i^2+i^3 &=& 1+3\cdot i+3\cdot i^2+i^2\cdot i \qquad & |\qquad i^2 = -1 \\ &=& 1+3\cdot i+3\cdot (-1)+(-1)\cdot i \\ &=& 1+3\cdot i -3 -1\cdot i \\ &=& 1-3 +3\cdot i -1\cdot i \\ &=& -2 +2\cdot i \\ \end{array}\)

what is pi

Ich soll 2 hoch 100 modulo 7 ohne Taschenrechner rechnen wie mache ich das?

\(\begin{array}{rcll} 2^{100}\pmod 7 \end{array}\)

Da 7 und die 2 teilerfremd sind, bzw. der größte gemeinsame Teiler ggT (7, 2)  = 1 ist,

erhält man sofort  mit \(\varphi(7) = 6 \) den zweier Exponenten mit \( 2^6 \equiv 1 \pmod 7.\)

wann der Rest 1 ist.

\(\varphi{(n)}\) ist die Eulersche PHI-Funktion.

(Satz von Euler) 

Es sei \(m \in N\),  \(a \in Z\) und  ggT(a, m) = 1.

Dann ist  \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\).

Jetzt zerlegen wir den Exponenten, die 100, in ein Vielfaches von 6 und einem Rest. 

\(100 = 6\cdot 16 + 4\)

Wir erhalten:

\(\begin{array}{rcll} 2^{6\cdot16 + 4}\pmod 7 \\ \equiv & 2^{6\cdot16}\cdot 2^{4}\pmod 7 \\ \equiv & (\underbrace{2^{6}}_{=1})^{16}\cdot 2^{4}\pmod 7 \qquad & | \qquad 2^6 \equiv 1 \pmod 7\\ \equiv & (1)^{16}\cdot 2^{4}\pmod 7 \qquad & | \qquad 1^{16} = 1 \\ \equiv & 1\cdot 2^{4}\pmod 7 \\ \equiv & 2^{4}\pmod 7 \\ \equiv & 16 \pmod 7 \\ \equiv & 2 \pmod 7 \\ \end{array}\)

Der gesuchte Rest ist die 2

Hallo radix,

link: Geschenke verteilen

Hallo radix,

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