heureka

0,9l Wasser werden zuerst in einen Zylinder(Höhe = 10cm, Radius = 5cm) geschüttet, das übrige Wasser kommt in einen Kegel(Höhe = 10cm, Grundkreisradius = 5cm). Berechne, wie hoch (cm) das Wasser im Kegel stehen wird.

Wie hoch das Wasser im Kegel steht (übrigens ist der Kegel mit der Spitze nach unten!)

Ich würde folgendermaßen rechnen:

1.) Umrechnung von 0,9 l Wasser nach \(cm^3\):
\(\begin{array}{rcll} 0,9\ l &=& 0,9\ dm^3 \\ &=& 0,9\ dm^3 \cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\\ &=& 0,9 \cdot 1000\ \ cm^3\\ \mathbf{0,9\ l } & \mathbf{=} & \mathbf{900\ \ cm^3 }\\ \end{array}\)

2.) Berechnung der Zylinderfläche:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{Zylinder} &=& \pi\cdot r_{Zylinder}^2 \cdot h_{Zylinder} \qquad & | \qquad r_{Zylinder} = 5\ cm \qquad h_{Zylinder} = 10\ cm\\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 5\ cm^2 \cdot 10\ cm \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 25 \cdot 10\ cm^3 \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 250\ cm^3 \\ \mathbf{V_{Zylinder}} &\mathbf{=}& \mathbf{785.398163397\ cm^3} \\ \end{array} }\)

Für den Kegel bleiben noch \(900\ cm^3 - 785.398163397\ cm^3 = 114.601836603\ cm^3\) Wasser.

Wir setzen\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=&114.601836603\ cm^3 \end{array} }\)

3.) Berechnung der Höhe des Kegels von der Spitze aus gerechnet:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}}&=& \frac13 \cdot (\pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 ) \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ \end{array} }\)

Berechnung von \( r_{Wasserspiegel}\) mit Strahlensatz:

\(\begin{array}{rcll} \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{r_{Kegel}}{h_{Kegel}} \qquad & | \qquad r_{Kegel} = 5\ cm \qquad h_{Kegel} = 10\ cm\\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{5\ cm}{10\ cm} \\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac12\\ r_{Wasserspiegel} &=& \frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}} \\ \end{array}\)

und eingesetzt:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot (\frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}) ^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot \frac14 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \quad | \quad V_{\text{Kegel mit Wasser}} = 114.601836603\ cm^3\\ 114.601836603\ cm^3 &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \\ \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\cdot \frac{12}{\pi}\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 437.746770785\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}} &=& \sqrt[3]{437.746770785\ cm^3} \\ \mathbf{h_{\text{Kegel von der Spitze}} }&\mathbf{=}& \mathbf{7.59289947845\ cm} \\ \end{array} }\)

Solve for x

(1/2)(-4+6x)=(1/3)x+(2/3)(x+9)

\(\begin{array}{rcll} \frac12 \cdot (-4+6x) &=& \frac13 \cdot x+ \frac23 \cdot (x+9)\\ \frac12 \cdot (-4+6x) &=& \frac13 \cdot x+ \frac23\cdot x + \frac23\cdot 9 \qquad & | \qquad \frac13 \cdot x+ \frac23\cdot x = \frac33 \cdot x = x\\ \frac12 \cdot (-4+6x) &=& x + \frac23\cdot 9 \qquad & | \qquad \frac23\cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6\\ \frac12 \cdot (-4+6x) &=& x + 6\\ \frac12 \cdot (-4) + \frac12 \cdot 6x &=& x + 6 \qquad & | \qquad \frac12 \cdot (-4) = -2\\ -2 + \frac12 \cdot 6x &=& x + 6 \qquad & | \qquad \frac12 \cdot 6x = 3x\\ -2 + 3x &=& x + 6 \qquad & | \qquad -x\\ -2 + 2x &=& 6 \qquad & | \qquad +2\\ 2x &=& 8 \qquad & | \qquad :2\\ x &=& \frac82 \qquad & | \qquad \frac82 = 4\\ x &=& 4\\ \end{array}\)

Die 4 Lösungen im Überblick. Schnitt Kreis mit Hyperbel.

Gegeben: PA   mit   PA(x) = 0,1x²+0,4x+1,4

                  PN  mit   PN(x) = 0,05x²-x+4

a) Berechnen von Marktgleichgewicht (G) und Umsatz (U_G) im Marktgleichgewicht

    Lösung: G (1,748|2,405) und U_G=4,20394

Das Marktgleichgewicht \((x_G|y_G)\) ist der Schnittpunkt aus \(P_A(x) ~ \text{ und } ~ P_N(x)\)

\(\begin{array}{rcll} y_G = P_A(x_G) &=& P_N(x_G) \\ 0.1\cdot x_G^2 + 0.4\cdot x_G + 1.4 &=& 0.05\cdot x_G^2 - x_G + 4 \\ 0.1\cdot x_G^2 - 0.05\cdot x_G^2+ 0.4\cdot x_G+ x_G + 1.4 - 4&=& 0 \\ 0.05\cdot x_G^2+ 1.4\cdot x_G+ -2.6&=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20\\ 1\cdot x_G^2+ 28\cdot x_G+ -52&=& 0 \\ x_G^2+ 28\cdot x_G -52&=& 0 \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_G^2+ 28\cdot x_G -52&=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = 28 \qquad c = -52\\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{28^2-4\cdot 1\cdot (-52)} }{ 2\cdot 1} \\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{784+208} }{ 2} \\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{992} }{ 2} \\ x_G &=& \frac{ -28 + 31.4960314960 }{ 2} \qquad & | \qquad x_G > 0 ~!\\ x_G &=& 1.74801574802 \\\\ \end{array} \)

\(\begin{array}{rcll} y_G &=& 0.1\cdot x_G^2 + 0.4\cdot x_G + 1.4 \\ y_G &=& 0.1\cdot 1.74801574802^2 + 0.4\cdot 1.74801574802 + 1.4 \\ y_G &=& 2.40476220474 \\ \end{array}\)

Marktgleichgewicht G( 1.74801574802 | 2.40476220474 )

\(\begin{array}{rcll} \text{Umsatz }~(U_G) &=& x_G \cdot y_G \\ U_G &=& 1.74801574802 \cdot 2.40476220474 \\ U_G &=& 4.20356220414 \\ \end{array}\)

b) Berechnen von Sättigungsmenge (x_S), Höchstpreis (P_H) und Mindestangebotspreis (P_M) 

    Lösung: x_S=5,528 ; P_H= 4 ; P_M=1,4

\(\begin{array}{rcll} \text{Höchstpreis }~(P_H) &=& P_N(0)\\ P_N(0) &=& 0.05\cdot 0^2 - 0 + 4 \\ P_N(0) &=& 4 \\ P_H &=& 4 \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} \text{Mindestangebotspreis }~(P_M) &=& P_A(0)\\ P_A(0) &=& 0.1\cdot 0^2 + 0.4\cdot 0 + 1.4 \\ P_A(0) &=& 1.4 \\ P_M &=& 1.4 \\ \end{array}\)

Sättigungsmenge \((x_S)\)

\(\begin{array}{rcll} P_N(x_s) &=& 0 \\ 0.05\cdot x_s^2 - x_s + 4 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20 \\ 1\cdot x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \\ x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = -20 \qquad c = 80\\ x_s &=& \frac{ -(-20) \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 1\cdot 80} }{ 2\cdot 1} \\ x_s &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{400-320} } { 2} \\ x_s &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{80} } { 2} \\ x_s &=& \frac{ 20 -8.94427191000 } { 2} \\ x_s &=& 5.52786404500 \\ \end{array}\)

c) ist für mich zu fachlich. Deine Antwort sieht aber logisch richtig aus.

This identity, when calculated correctly, is a very familiar constant. The question is this: how many accurate digits are there in its decimal expansion? {nl} Ln{[640,320^3 + 744]^2 - 393,768} / sqrt(652)=?

"\(\dots\) one example on Mathworld's Pi Approximations page.

The same formula from Ramanujan that I have used was extended in a different way by Warda (2004) with the result:

π   ≈  ln [ ( 640320³ + 744 )² - 2 · 196884 ] / ( 2 · \(\sqrt{163}\) )    [ Heureka: \(\pi \approx \frac{ \ln{ [~ ( 640320^3 + 744 )^2 - 2 \cdot 196884 ~]} } { 2 \cdot \sqrt{163}} \) ]

giving the resulting approximation to π :

π   ≈ 3.1415926535897932384626433832795028841971693992820...

that is accurate to 46 digits past the decimal point \(\dots \)".

( From http://members.bex.net/jtcullen515/math7.htm )

d) Welche Situation herrscht bei einem Marktpreis von 2 GE/ME? Wie hoch ist der Umsatz (UG) mit dem Gut?

Situation: Nachfrageüberschuss von NÜ=1,0917 und UG=2,3246 

(Eine Frage: Ich muss, um den Nachfrageüberschuss erst zu bekommen die Angebots- und Nachfragemenge ausrechnen. Wie mache ich das? Ich bin zwar mit dem Taschenrechner au dieses Ergebnis gekommen (Wertetabelle), aber es muss doch einen Rechenweg geben)

Berechnung des Nachfrageüberschusses:

\(\begin{array}{rcl} \text{Preis } &=& 2 \\ \text{Angebotsmenge } &=& x_A \\ \text{Nachfragemenge } &=& x_N \\ \text{Nachfrageüberschuss } &=& N_Ü \\ N_Ü &=& x_N - x_A \\ \end{array}\)

I. Berechnung der Nachfragemenge \(x_N\):

\(\begin{array}{rcll} P_N(x_N) &=& 2 \\ 0.05\cdot x_N^2 - x_N + 4 &=& 2 \qquad & | \qquad -2\\ 0.05\cdot x_N^2 - x_N + 4-2 &=& 0\\ 0.05\cdot x_N^2 - x_N + 2 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20 \\ 1\cdot x_N^2 - 20\cdot x_N + 40 &=& 0 \\ x_N^2 - 20\cdot x_N + 40 &=& 0 \\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_N^2 - 20\cdot x_N + 40 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = -20 \qquad c = 40\\ x_N &=& \frac{ -(-20) \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 1\cdot 40} }{ 2\cdot 1} \\ x_N &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{400-160} } { 2} \\ x_N &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{240} } { 2} \\ x_N &=& \frac{ 20 - \sqrt{240} } { 2} \\ x_N &=& \frac{ 20 -15.4919333848 } { 2} \\ x_N &=& 2.25403330759 \\ \end{array}\)

II. Berechnung der Angebotsmenge \(x_A\):

\(\begin{array}{rcl} P_A(x_A) &=& 2 \\ 0.1\cdot x_A^2 + 0.4\cdot x_A + 1.4 &=& 2 \qquad & | \qquad -2\\ 0.1\cdot x_A^2 + 0.4\cdot x_A + 1.4-2 &=& 0\\ 0.1\cdot x_A^2 + 0.4\cdot x_A - 0.6 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 10 \\ 1\cdot x_A^2 + 4\cdot x_A - 6 &=& 0 \\ x_A^2 + 4\cdot x_A - 6 &=& 0 \\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_A^2 + 4\cdot x_A - 6 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = 4 \qquad c = -6\\ x_A &=& \frac{ -4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-6)} }{ 2\cdot 1} \\ x_A &=& \frac{ -4 \pm \sqrt{16+24} }{ 2} \\ x_A &=& \frac{ -4 \pm \sqrt{40} }{ 2} \\ x_A &=& \frac{ -4 + \sqrt{40} }{ 2} \\ x_A &=& \frac{ -4 + 6.32455532034 }{ 2} \\ x_A &=& 1.16227766017 \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} N_Ü &=& x_N - x_A \\ &=& 2.25403330759 - 1.16227766017 \\ &=& 1.09175564742 \\ \end{array}\)

Fill the series 5,7,17,47,115,? find the value in the "?".

The function is:

\(\small{ \begin{array}{rcl} a_n &=& \binom{n-1}{0}\cdot {\color{red}d_0 } + \binom{n-1}{1}\cdot {\color{red}d_1 } + \binom{n-1}{2}\cdot {\color{red}d_2 } + \binom{n-1}{3}\cdot {\color{red}d_3 } + \binom{n-1}{4}\cdot {\color{red}d_4 } \\\\ a_n &=& d_0 + (n-1)d_1 \\ &+& \frac12 (n-1)(n-2)d_2\\ &+& \frac13\cdot \frac12 (n-1)(n-2)(n-3)d_3 \\ &+& \frac14\cdot \frac13 \cdot \frac12 (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)d_4 \\\\ a_n &=&d_0+ (n-1) \{d_1+(n-2)[\frac12 d_2+(n-3)( \frac16 d_3 + \frac{1}{24}(n-4)d_4) ] \} \\ \dots \\ a_n &=& d_0 -d_1+d_2-d_3+d_4 \\ &+& n\cdot \left( \frac{12d_1-18d_2+22d_3-25d_4}{12} \right) \\ &+& n^2\cdot \left( \frac{12d_2-24d_3+35d_4}{24} \right) \\ &+& n^3\cdot \left( \frac{4d_3-10d_4}{24} \right) \\ &+& n^4\cdot \left( \frac{d_4}{24} \right) \\\\ \end{array} }\)

we have:

\(d_0 = 5\\ d_1 = 2\\ d_2 = 8\\ d_3 = 12\\ d_4 = 6\)

\(\begin{array}{rcl} a_n &=& d_0 -d_1+d_2-d_3+d_4 \\ &+& n\cdot \left( \frac{12d_1-18d_2+22d_3-25d_4}{12} \right) \\ &+& n^2\cdot \left( \frac{12d_2-24d_3+35d_4}{24} \right) \\ &+& n^3\cdot \left( \frac{4d_3-10d_4}{24} \right) \\ &+& n^4\cdot \left( \frac{d_4}{24} \right) \\\\ a_n &=& 5-2+8-12+6\\ &+& n\cdot \left( \frac{12\cdot 2-18\cdot 8+22\cdot 12-25\cdot 6}{12} \right) \\ &+& n^2\cdot \left( \frac{12\cdot 8-24\cdot 12+35\cdot 6}{24} \right) \\ &+& n^3\cdot \left( \frac{4\cdot 12-10\cdot 6}{24} \right) \\ &+& n^4\cdot \left( \frac{6}{24} \right) \\\\ a_n &=& 5\\ &-& \frac12 \cdot n\\ &+& \frac34 \cdot n^2 \\ &-& \frac12 \cdot n^3 \\ &+& \frac14 \cdot n^4\\\\ a_n &=& 5 - \frac12 \cdot n + \frac34 \cdot n^2 - \frac12 \cdot n^3 + \frac14 \cdot n^4 \end{array}\)

Fill the series 5, 7, 17, 47, 115, ?  find the value in the "?".

\(\small{ \begin{array}{lrrrrrrrrrr} & {\color{red}d_0 = 5} && 7 && 17 && 47 && 115 && \cdots \\ \text{1. Difference } && {\color{red}d_1 = 2} && 10 && 30 && 68 && \cdots \\ \text{2. Difference } &&& {\color{red}d_2 = 8} && 20 && 38 && \cdots \\ \text{3. Difference } &&&& {\color{red}d_3 = 12} && 18 && \cdots \\ \text{4. Difference } &&&&& {\color{red}d_4 = 6} && \cdots \\ \end{array} } \)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcl} a_n &=& \binom{n-1}{0}\cdot {\color{red}d_0 } + \binom{n-1}{1}\cdot {\color{red}d_1 } + \binom{n-1}{2}\cdot {\color{red}d_2 } + \binom{n-1}{3}\cdot {\color{red}d_3 } + \binom{n-1}{4}\cdot {\color{red}d_4 } \end{array} ~} \\\\ \)

\(\begin{array}{rcl} a_n &=& \binom{n-1}{0}\cdot {\color{red} 5 } + \binom{n-1}{1}\cdot {\color{red} 2 } + \binom{n-1}{2}\cdot {\color{red} 8 } + \binom{n-1}{3}\cdot {\color{red} 12 } + \binom{n-1}{4}\cdot {\color{red} 6 } \\\\ a_{6} &=& \binom{5}{0}\cdot {\color{red} 5 } + \binom{5}{1}\cdot {\color{red} 2 } + \binom{5}{2}\cdot {\color{red} 8 } + \binom{5}{3}\cdot {\color{red} 12 } + \binom{5}{4}\cdot {\color{red} 6 } \\\\ a_{6} &=& 1\cdot {\color{red} 5 } + 5\cdot {\color{red} 2 } + 10\cdot {\color{red} 8 } + 10\cdot {\color{red} 12 } + 5\cdot {\color{red} 6 } \\\\ a_{6} &=& 5+10+80+120+30 \\\\ \mathbf{a_{6}} & \mathbf{=}& \mathbf{245} \end{array}\)

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

Wir definieren:

\(\small{ \begin{array}{rcll} a &=& \text{ Kantenlänge des Würfels } = 1\ m \\ L &=& \text{ Länge der Leiter } = 10\ m \\ \\ x &=& \text{ Entfernung des Fußteils der Leiter von der Wand } \qquad x\ge a\ ! \\ y &=& \text{ Die Anlegehöhe an der Wand } \\ \end{array} }\)

Ich habe meine beiden quadratischen Gleichungen für k und x zusammengefaßt und erhalte:

\(\small{ \begin{array}{lrcll} & 2\cdot x_{1,2} &=& a + \sqrt{a^2+L^2} \pm \sqrt{ \left(a- \sqrt{a^2+L^2} \right)^2-(2a)^2 } \\ a=1: & 2\cdot x_{1,2} &=& 1 + \sqrt{1+L^2} \pm \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \\\\ & 2\cdot x_{3,4} &=& a - \sqrt{a^2+L^2} \pm \sqrt{ \left(a+ \sqrt{a^2+L^2} \right)^2-(2a)^2 } \\ a=1: & 2\cdot x_{3,4} &=& 1 - \sqrt{1+L^2} \pm \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \\ \end{array} }\)

Für \(a = 1 ~ \text{ und } ~ L=10\) erhalten wir für die vier Lösungen von \(x\):

\(\small{ \begin{array}{rcll} x_1 &=& \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{1+L^2} + \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{101} + \sqrt{ (1-\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 9.93799368936\\ x_2 &=& \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{1+L^2} - \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{101} - \sqrt{ (1-\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 1.11188193176\\ x_3 &=& \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{1+L^2} + \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{101} + \sqrt{ (1+\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 0.90874766162\\ x_4 &=& \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{1+L^2} - \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{101} - \sqrt{ (1+\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = -9.95862328274\\ \end{array} }\)

Unsere Bedingung für x lautet aber, x muss größer oder gleich a bzw. 1 sein, somit fallen \(x_3\) und \(x_4\) als Lösungen raus.