heureka

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

Wir definieren:

\(\small{ \begin{array}{rcll} a &=& \text{ Kantenlänge des Würfels } = 1\ m \\ L &=& \text{ Länge der Leiter } = 10\ m \\ \\ x &=& \text{ Entfernung des Fußteils der Leiter von der Wand } \qquad x\ge a\ ! \\ y &=& \text{ Die Anlegehöhe an der Wand } \\ \end{array} }\)

I. Strahlensatz:

\(\begin{array}{rcll} \frac{x-a}{a} &=& \frac{x}{y} \qquad & | \qquad \cdot y\\ \frac{y(x-a)}{a} &=& x \qquad & | \qquad \cdot a\\ y(x-a) &=& ax \\ yx-ay &=& ax \qquad & | \qquad +ay\\ yx &=& ax+ay\\ yx &=& a(x+y)\\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} xy = a(x+y) = k \qquad \Rightarrow \qquad xy = k \qquad (x+y) = \frac{k}{a}\\ \end{array} ~} \)

II. Pythagoras:

\(\begin{array}{rcll} x^2+y^2 &=& L^2 \qquad & | \qquad x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy\\ (x+y)^2 -2xy &=& L^2 \qquad & | \qquad xy = k \qquad (x+y) = \frac{k}{a}\\ (\frac{k}{a})^2 -2k &=& L^2\\ \frac{k^2}{a^2} -2k &=& L^2 \qquad & | \qquad \cdot a^2\\ k^2 -2a^2k &=& a^2L^2 \\ k^2 -2a^2k - a^2L^2 &=& 0\\ \end{array}\)

Wir rechnen jetzt k aus:

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} Ak^2+Bk+C &=& 0 \\ k_{1,2} &=& \frac{ -B \pm \sqrt{B^2-4AC} } { 2A} \end{array} ~}\\ \)

\(\begin{array}{rcll} k^2 -2a^2k - a^2L^2 &=& 0\qquad A= 1 \qquad B = -2a^2 \qquad C=-a^2L^2 \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{(-2a^2)^2-4\cdot 1 \cdot (-a^2L^2)} } { 2\cdot 1} \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{4a^4+ 4\cdot a^2L^2 } } { 2 } \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{4a^2(a^2 + L^2) } } { 2 } \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm 2a\cdot \sqrt{a^2+ L^2} } { 2 } \\ k_{1,2} &=& a^2 \pm a\cdot \sqrt{a^2+ L^2} \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} a= 1 \qquad L = 10\\ k_{1,2} &=& 1^2 \pm 1\cdot \sqrt{1+ L^2} \\ \mathbf{k_{1,2} }& \mathbf{=} & \mathbf{1 \pm \sqrt{1+ L^2} }\\ k_{1,2} &=& 1^2 \pm 1\cdot \sqrt{1^2+ 10^2} \\ k_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{1+ 10^2} \\ k_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{101} \\\\ k_{1} &=& 1 + \sqrt{101} \\ k_{1} &=& 11.0498756211\\\\ k_{2} &=& 1 - \sqrt{101} \\ k_{2} &=& -9.04987562112 \end{array}\)

Wir rechnen jetzt x und y aus:

\(\begin{array}{lrcll} (1)& xy &=& k \\ & y &=& \frac{k}{x} \\\\ (2)& x+y &=& \frac{k}{a} \\ & x+\frac{k}{x} &=& \frac{k}{a} \qquad & | \qquad \cdot x\\ & x^2+ k &=& \frac{k}{a} \cdot x\\ & x^2 - \frac{k}{a}\cdot x + k &=& 0\\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} Ax^2+Bx+C &=& 0 \\ x_{1,2} &=& \frac{ -B \pm \sqrt{B^2-4AC} } { 2A} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x^2 - \frac{k}{a}\cdot x + k &=& 0 \qquad A= 1 \qquad B = -\frac{k}{a} \qquad C=k \\ x_{1,2} &=& \frac{ \frac{k}{a} \pm \sqrt{(-\frac{k}{a})^2-4\cdot 1 \cdot k} } { 2\cdot 1} \\ x_{1,2} &=& \frac{ \frac{k}{a} \pm \sqrt{\frac{k^2}{a^2} -4k} } { 2 } \\ \end{array}\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} a= 1 \qquad k_{1} &=& 11.0498756211 \qquad k_{2} = -9.04987562112 \\ x_{1,2} &=& \frac{ k \pm \sqrt{k^2 -4\cdot k} } { 2 } \\ \mathbf{x_{1}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_1 + \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_1} } { 2 } }\\ x_{1} &=& \frac{ 11.0498756211 + \sqrt{11.0498756211^2 -4\cdot 11.0498756211} } { 2 } \\ x_{1} &=& 9.93799368936 \\\\ \mathbf{x_{2} }&\mathbf{=}&\mathbf{ \frac{ k_1 - \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_1} } { 2 } }\\ x_{2} &=& \frac{ 11.0498756211 - \sqrt{11.0498756211^2 -4\cdot 11.0498756211} } { 2 } \\ x_{2} &=& 1.11188193176\\\\ \mathbf{x_{3}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_2 + \sqrt{k_2^2 -4\cdot k_2} } { 2 } }\\ x_{3} &=& \frac{ -9.04987562112 + \sqrt{(-9.04987562112)^2 -4\cdot (-9.04987562112)} } { 2 } \\ x_{3} &=& 0.90874766162 \qquad \text{ keine Lösung } \qquad x \ge a\ ! \qquad x \ge 1\ !\\\\ \mathbf{x_{4}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_2 - \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_2} } { 2 } }\\ x_{4} &=& \frac{ -9.04987562112- \sqrt{(-9.04987562112)^2 -4\cdot (-9.04987562112)} } { 2 } \\ x_{4} &=& -9.95862328274 \qquad \text{ keine Lösung } \qquad x \ge a\ ! \qquad x \ge 1\ !\\\\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} y_{1} &=& x_2 = 1.11188193176 \\ y_{2} &=& x_1 = 9.93799368936 \end{array} }\)

Es gibt 2 reelle Lösungen.

Lösung 1: ( 9,93799368936 m; 1,11188193176 m )

Lösung 2: ( 1,11188193176 m; 9.93799368936 m )

Vielen Dank an radix und asinus.

Hey guys I'm Kendall pls help me with this question : in a box 1/4 of the buttons are red. There are 32 more yellow buttons than red buttons. The remaining 86 buttons are blue. How many buttons are there in the box altogether?

\(\begin{array}{rcll} \text{red} &=& \frac{ \text{box} } {4} \\\\ \text{yellow} &=& 32 + \text{red} \\ &=& 32 + \frac{ \text{box} } {4} \\\\ \text{blue} &=& 86 \\ \\ \hline \\ \text{box} &=& \text{red} ~+ ~\text{yellow} ~ + ~\text{blue}\\ \text{box} &=& \frac{ \text{box} } {4} ~+ ~32 + \frac{ \text{box} } {4} ~ + 86\\ \text{box} &=& 2\cdot \frac{ \text{box} } {4} ~+ 32 + 86\\ \text{box} &=& 2\cdot \frac{ \text{box} } {4} ~+ 118\\ \text{box} &=& \frac{ \text{box} } {2} ~+ 118 \qquad | \qquad \cdot 2\\ 2\cdot \text{box} &=& \text{box} ~+ 118\cdot 2 \\ 2\cdot \text{box} &=& \text{box} ~+ 236 \qquad | \qquad -\text{box}\\ 2\cdot \text{box}-\text{box} &=& 236 \\ \text{box} &=& 236 \\ \end{array}\)

There are 236 buttons in the box

\(\begin{array}{rcll} \text{red} &=& \frac{236}{4} \\ &=& 59 \\\\ \text{yellow} &=& 32+59 \\ &=& 91 \\\\ \text{blue} &=& 86 \\\\ 59+91+86 &=& 236 \end{array}\)

Nochmal ohne Schreibfehler:

Hallo Ich möchte einen 150 Meter lange Poolabsorberschlauch16 mm Durchmesser 

(breite der Klemmen 25mm)spiralförmig auf einer Platte verschrauben.

Wegen der Steifheit des schlauches ist der kleinste Durchmesser der Spirale mindestens 25 cm.

Wie groß wir die Platte ? Mfg H W Birth

Ich versuche erstmal die Frage zu beantworten, wie groß die Spirale wird.

Ich gehe von einer archimedischen Spirale aus, die den Vorteil hat,

das ihre Spiralarme immer gleichen Abstand \( a\cdot 2\pi \) haben.

Die Gleichung einer arithmetischen Spirale lautet mathematisch \(r(\varphi) = a\cdot \varphi \),

wobei \(\varphi \) der Winkelfortschritt ist und a ein Parameter der Spirale ist,

der sich aus dem gegebenen Abstand der Spiralarme(Schläuche) berechnen läßt.

Wir definieren:

\(\small{ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ k = \text{ Klemmenbreite } = 2.5\ cm \\ D = \text{ Abstand der Schläuche, wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{k+s}{2} = \frac{2.5+1,6}{2} = 2.05\ cm }\)

\(\begin{array}{rcll} D &=& a\cdot 2\pi\\ a &=& \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \end{array}\)

Der Winkelfortschritt \(\varphi \) beginnt mit \( \varphi_1\), wenn die Spirale den Mindestabstand M erreicht hat.

Wir definieren:\(\small{ m = \text{ Innenkreisdurchmesser } = 25\ cm \\ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ M = \text{ Mindestabstand M vom Mittelpunkt,wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{m+s}{2} = \frac{25+1,6}{2} = 13.3\ cm }\)

\(\begin{array}{rcll} M &=& a\cdot \varphi_1 \\ \varphi_1 &=& \frac{M}{a} = M\cdot \frac{ 2\pi}{D} = 13.3\ cm\cdot \frac{ 2\pi}{2.05\ cm} = 40.7640802856\ rad \end{array}\)

Wir stellen fest,

pro \(2\pi\) Winkelfortschritt vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt \((r(\varphi))\) um \(2.05\ cm\)

Der Schlauch startet bei einem Winkel von \( \varphi_1 = 40.7640802856\ rad\). 

Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 6.48780487805 mal gedreht. 

(\(\small{ n_{min} = \frac{ \varphi_1 } {2\pi} = \frac{ 40.7640802856\ rad } {2\pi} = 6.48780487805 }\))

Nun kommen wir zur Länge der Spirale ( Länge des Schlauches ).

Die Herleitung erspare ich mir an dieser Stelle, doch soviel: 

Die Parametergleichung einer archimedischen Spirale lautet:

\(x = a\cdot \varphi \cdot \cos{(\varphi)} \\ y = a\cdot \varphi \cdot \sin{(\varphi)}\\ \dot{x} = a \cdot [ \cos{(\varphi)}- \varphi \cdot \sin{(\varphi)} ]\\ \dot{y} = a \cdot [ \varphi \ cdot \cos{(\varphi)}+\sin{(\varphi)} ]\\ L = \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 }\ d\varphi }\\ L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{1+(\varphi)^2 }\ d\varphi }\)

Wenn man \(\varphi = \sinh{(z)}\) substituiert, erhält man \(L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} {\cosh{(z)}^2} \ dz\)

Durch partielle Integration erhält man als Ergebnis \(L = \frac{a}{2} \left[ z+\frac{ \sinh{(2z)} }{2} \right]_{\varphi_1}^{\varphi_2} \text{ mit } z = arsinh(\varphi)\) 

In der Literatur findet man die Umformung \(L = \frac{a}{2}\left[ \varphi \cdot \sqrt{1+(\varphi)^2 } + \ln{~( \varphi + \sqrt{1+(\varphi)^2 } ~) } \right]_{\varphi_1}^{\varphi_1}\)

Vorteilhafter ist, für die weitere Berechnung, die kurze Form zu nehmen.

Wir kennen bereits den Winkelfortschritt \(\varphi_1\) am Anfang der Schlauchaufwicklung.

Und wir haben die Schlauchlänge von 150 m.

Wir benötigen also den Winkelfortschritt \(\varphi_2\) am Ende der Sprirale(Schlauchaufwicklung).

\(\small{ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} = z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] \qquad z_1 = arsinh(\varphi_1) \quad z_2 = arsinh(\varphi_2) }\)

\(\begin{array}{rcll} z_1 &=& arsinh(\varphi_1) \qquad \varphi_1 = 40.7640802856\ rad\\ z_1 &=& arsinh(40.7640802856) \\ z_1 &=& 4.401098902515\\ [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] &=& 1666.611265232 \end{array}\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - 1666.611265232 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad a = \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{0.32626763334 } + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ 93615.66454 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ \end{array} }\)

Ich setze \(K=93615.66454\) und erhalten 

\(\small{ \begin{array}{rcll} K &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad \cdot 2\\ 2K &=& 2z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)}\\ \end{array} }\)

Ersetzen wir noch \(z_2 = \frac12 \bar{z}_2\) so erhalten wir schließlich \(2K = \bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) }\)

\(\bar{z}_2\) kann nur mit einem Iterationsverfahren, wie Newton-Raphson gelöst weren.

Iteration von \(\bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) } -2K=0\) zur Bestimmung von \(\bar{z}_2, z_2\) und \(\varphi_2\) :

Die 1. Ableitung lautet \(1+\cosh{ (\bar{z}_2) }\)

Den Startwert von \(Z_0\) setze ich auf 13.

\(\text{1. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -2\cdot 93615.66454 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 13 + \frac12 \sinh{(13) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (13) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 33988.3669} { 221207.696 } \\ Z_1 &=& 12.84635088 \end{array}\)

 \(\text{2. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_2 &=& 12.84635088 - \frac{ 12.84635088 + \frac12 \sinh{(12.84635088 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.84635088 ) } } \\ Z_2 &=& 12.84635088 - \frac{ 2482.379952} { 189701.8619 } \\ Z_2 &=& 12.83386519 \end{array}\)

\(\text{3. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 12.83386519 + \frac12 \sinh{(12.83386519 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83386519 ) } } \\ Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 128.545428} { 187348.0409} \\ Z_3 &=& 12.83317906 \end{array}\)

\(\text{4. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 12.83317906 + \frac12 \sinh{(12.83317906 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317906 ) } } \\ Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 0.0442938} { 187219.5405 } \\ Z_4 &=& 12.83317882 \end{array}\)

\(\text{5. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 12.83317882 + \frac12 \sinh{(12.83317882 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317882 ) } } \\ Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 0.000315} { 187219.4956 } \\ Z_5 &=& 12.83317882 \quad \text{ Wert ändert sich nicht mehr, das Ende der Iteration ist erreicht} \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} \bar{z}_2 = Z_5 &=& 12.8331788 \\ z_2 &=& \frac12 \bar{z}_2\\ &=& \frac { 12.8331788 }{2} \\ &=& 6.4165894\\\\ \varphi_2 &=& \sinh(z_2)\\ &=& \sinh(6.4165894)\\ \varphi_2 &=& 305.955467\dots \ rad\\ \end{array}\)

Der genaue Wert für \(\varphi_2\) wäre \(305.955467270901983788847109700863367400\dots\) rad

Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 48.69432498215 mal gedreht. 

(\(\small{ n_{max} = \frac{ \varphi_2 } {2\pi} = \frac{ 305.9554672709019837888\ rad } {2\pi} = 48.69432498215 }\))

Der Schlauch selbst hat sich

\(n_{max} - n_{min} = 48.69432498215- 6.48780487805 = 42.2065201041\) mal gedreht.

Jetzt berechnen wir die Fläche unserer Spirale indem wir den größten Radius der Spirale bei \(\varphi_2\)   

also \( r(\varphi_2)\) berechnen,

wäre noch die halbe Klemmenbreite von\( \frac{k}{2} = \frac{2.5\ cm}{2} = 1.25\ cm\) zu adieren, 

wie es asinus vorgeschlagen hat.

\(\small{ \begin{array}{rcll} r(\varphi_2) &=& r({305.9554672709019837888}) \\ r(\varphi_2) &=&a \cdot 305.9554672709019837888\\ &=& 99.823366213417\ cm\\\\ r_{Kreis} &=& r(\varphi_2) + \frac{k}{2}\\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417\ cm + \frac{2.5\ cm}{2} \\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417 + 1.25 \\ r_{Kreis} &=& 101.073366213417034926541238\dots cm \end{array} }\)

Die Kreisfläche um die Spirale wäre:

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{\text{Kreis um die Spirale}} &=& \pi\cdot r_{Kreis}^2 \\ &=& \pi\cdot (101.073366213417034926541238\dots cm)^2\\ &=& 32093.9618941428\ cm^2 \\ &=& 3.20939618941428\ m^2 \\ \end{array} }\)

Die reine Spiralfläche hingegen wäre etwas kleiner.

Die parallele archimedische Spirale, den den Flächeninhalt bestimmt, lautet

\(r_{\parallel}(\varphi) = r(\varphi)+\frac{k}{2} = a\cdot \varphi +\frac{k}{2}\)

Die Sektorformel von Leibniz berechnet den Flächeninhalt und lautet: 

\(\small{ \begin{array}{rcll} \boxed{~ A= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { r(\varphi)^2\ d\varphi } ~}\\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{Spirale}= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \end{array} }\)

Nur die letzte Umdrehung liefert den Flächenanteil.

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{Spirale} &=& \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_2-2\pi}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \\ \dots \\ A_{Spirale}&=&\frac{D^2}{12\pi}(3\varphi^2_2 -6\varphi_2\pi + 4\pi^2) +\frac{D\cdot k}{2}\cdot(\varphi_2-\pi)+\frac{k^2}{4}\pi \\ A_{Spirale}&=&31447.4234850739\ cm^2 \\ A_{Spirale}&=&3.14474234850739\ m^2 \\ \end{array} }\)

Hallo Ich möchte einen 150 Meter lange Poolabsorberschlauch16 mm Durchmesser (breite der Klemmen 25mm)spiralförmig auf einer Platte verschrauben.Wegen der Steifheit des schlauches ist der kleinste Durchmesser der Spirale mindestens 25 cm.Wie groß wir die Platte ? Mfg H W Birth

An empty rectangular tank is 70 cm long and 50 cm wide. It is being filled with water flowing from a tap at a rate of 10000 ml per minute . If it takes 14 minutes to fill the tank to its brim, find the height of the tank.

1.

\(\begin{array}{rcll} V_{\text{tank}} &=& l\cdot w \cdot h \\ V_{\text{tank}} &=& 70\ cm\cdot 50\ cm \cdot h \\ V_{\text{tank}} &=& 3500\ cm^2 \cdot h \\ \end{array}\)

2.

\(\begin{array}{rcll} V_{\text{tank}} &=& \frac{10000\ ml}{\text{min.}} \cdot 14\ \text{min.} \\ V_{\text{tank}} &=& 10000\ ml \cdot 14 \\ V_{\text{tank}} &=& 14 \cdot 10000\ ml \qquad \boxed{ ~ 1\ ml = 1\ cm^3 ~} \\ V_{\text{tank}} &=& 14 \cdot 10000\ cm^3\\ \end{array}\)

3.

\(\begin{array}{rclcl} V_{\text{tank}} = 3500\ cm^2 \cdot h &=& 14 \cdot 10000\ cm^3\\ 3500\ cm^2 \cdot h &=& 14 \cdot 10000\ cm^3\\ h &=& \frac{ 14 \cdot 10000\ cm^3} {3500\ cm^2} \\ h &=& \frac{ 14 \cdot 10000} {3500}\ cm \\ h &=& 40 \ cm\\ \end{array}\)

The height of the tank is 40 cm

Find the equation of the tangent to the curve y= x3+3x2-5x-7  at the point where x = 2?

\(\begin{array}{rcll} y = f(x) &=& x^3+3x^2-5x-7 \\ f(2) &=& 2^3+3\cdot 2^2-5\cdot 2-7 \\ f(2) &=& 8+12-10-7 \\ f(2) &=& 3 \\\\ y' = f'(x) &=& 3x^2+6x-5\\ f'(2) &=& 3\cdot 2^2+6\cdot 2-5\\ f'(2) &=& 12+12-5\\ f'(2) &=& 19\\ \end{array}\)

The equation of the tangent:

\(\begin{array}{rcll} y &=& mx+b \\\\ y_p &=& m\cdot x_p + b \qquad x_p = 2 \qquad y_p = 3 \qquad m = f'(2) = 19\\ 3 &=& 19\cdot 2 +b \\ b &=& 3-38 \\ b &=& -35\\\\ y_{\text{tangent}} &=& 19x-35 \end{array}\)

Oder wenn der Körper sich bewegt: