Aufgabe für eine 1 lösen - WICHTIG

0,9l Wasser werden zuerst in einen Zylinder(Höhe = 10cm, Radius = 5cm) geschüttet, das übrige Wasser kommt in einen Kegel(Höhe = 10cm, Grundkreisradius = 5cm). Berechne, wie hoch (cm) das Wasser im Kegel stehen wird.

Wie hoch das Wasser im Kegel steht (übrigens ist der Kegel mit der Spitze nach unten!)

Ich würde folgendermaßen rechnen:

1.) Umrechnung von 0,9 l Wasser nach \(cm^3\):
\(\begin{array}{rcll} 0,9\ l &=& 0,9\ dm^3 \\ &=& 0,9\ dm^3 \cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\\ &=& 0,9 \cdot 1000\ \ cm^3\\ \mathbf{0,9\ l } & \mathbf{=} & \mathbf{900\ \ cm^3 }\\ \end{array}\)

2.) Berechnung der Zylinderfläche:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{Zylinder} &=& \pi\cdot r_{Zylinder}^2 \cdot h_{Zylinder} \qquad & | \qquad r_{Zylinder} = 5\ cm \qquad h_{Zylinder} = 10\ cm\\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 5\ cm^2 \cdot 10\ cm \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 25 \cdot 10\ cm^3 \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 250\ cm^3 \\ \mathbf{V_{Zylinder}} &\mathbf{=}& \mathbf{785.398163397\ cm^3} \\ \end{array} }\)

Für den Kegel bleiben noch \(900\ cm^3 - 785.398163397\ cm^3 = 114.601836603\ cm^3\) Wasser.

Wir setzen\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=&114.601836603\ cm^3 \end{array} }\)

3.) Berechnung der Höhe des Kegels von der Spitze aus gerechnet:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}}&=& \frac13 \cdot (\pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 ) \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ \end{array} }\)

Berechnung von \( r_{Wasserspiegel}\) mit Strahlensatz:

\(\begin{array}{rcll} \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{r_{Kegel}}{h_{Kegel}} \qquad & | \qquad r_{Kegel} = 5\ cm \qquad h_{Kegel} = 10\ cm\\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{5\ cm}{10\ cm} \\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac12\\ r_{Wasserspiegel} &=& \frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}} \\ \end{array}\)

und eingesetzt:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot (\frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}) ^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot \frac14 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \quad | \quad V_{\text{Kegel mit Wasser}} = 114.601836603\ cm^3\\ 114.601836603\ cm^3 &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \\ \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\cdot \frac{12}{\pi}\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 437.746770785\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}} &=& \sqrt[3]{437.746770785\ cm^3} \\ \mathbf{h_{\text{Kegel von der Spitze}} }&\mathbf{=}& \mathbf{7.59289947845\ cm} \\ \end{array} }\)

Du hast schon mal richtig angefangen:

Das Volumen im Zylinder stimmt:

\({V}_{zylinder}=785,398{cm}^{3}=0,785398{dm}^{3}\) 

Umrechnung von cm^3 in dm^3 ist 1/1000, da:

10cm*10cm*10cm=1000cm^3 10cm=1dm

\(\Rightarrow\)1dm*1dm*1dm=1dm^3

1 Liter Wasser ist \(1{dm}^{3}\)

Darauf folgt:

\(1{dm}^{3}-0,785398{dm}^{3}=0,215{dm}^{3}\)

Als nächstes brauchst du den Öffnungswinkel des Kegels:

\(tan \alpha ={r\over h} \Rightarrow \alpha = arctan({r\over h})=26,57° \Rightarrow r=tan \alpha *h\) 

Die Grundfläche berechnest du schon richtig, nur wollen wir es jetztr in abhängigkeit der Höhe ausdrücken:

\(G={r}^{2}*\pi =({tan \alpha *h})^{2}*\pi \) 

Dadurch ist das Volumen des Kegels:

\(V={1\over 3} G*h={1\over 3}*({tan \alpha })^{2}*\pi*{h}^{3}=0,125{dm}^{3}\) 

Das Volumen soll nämlich das übrige Wasser entsprechen.

Nun musst du nach h auflösen:

\(h=\sqrt[3]{{3*V\over \pi*({tan \alpha}) ^{2}}}=\sqrt[3]{{3*0,125{dm}^{3}\over \pi*({tan 26,57°}) ^{2}}}=\sqrt[3]{{0,375{dm}^{3}\over \pi*({0,5}) ^{2}}}=\sqrt[3]{0,4775{dm}^{3}}=0,782dm=7,82cm\)

Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet...

Hab mich bei dem Volumen, der im Kegel sein soll leider total verhaun, wenn man 114,6 cm^3 einsetzt, kommt, wie bei heureka eine Füllhöhe von 7,598 cm raus.

Gruß

Gast

Guten Morgen Gast 1 und 2 , guten Morgen  heureka !

Bei meiner ersten Antwort hatte ich mich total "verhauen" !!  (ist gelöscht !)

Hier nun meine  richtige  Lösung :

Volumen Kegel :     V(K) = 261,8 cm³              Höhe des Kegels                    h(K) = 10 cm

Volumen Wasser ;  V(W) = 114,6018 cm³        Höhe des Wasserstandes      h(W)  ist gesucht

\(\frac{V(W)}{V(K)}=\frac{h(W)^3}{h(K)^3}\)

\(h(W)=\sqrt[3]{V(W)*h(K)^3:V(K)}\)

Rechner:    sqrt3((114.6018*10^3/261.8)) = 7.592892751598051

Antwort:  Das Wasser steht in dem Kegel ( Spitze unten )  7,593 cm  hoch .

Gruß radix !