+0  
 
+21
787
5
avatar

Ich steh in Mathe extrem schlecht sad, und es gibt die Möglichkeit eine 1 zu bekommen, indem man die folgende Aufgabe löst:
 

0,9l Wasser werden zuerst in einen Zylinder(Höhe = 10cm, Radius = 5cm) geschüttet, das übrige Wasser kommt in einen Kegel(Höhe = 10cm, Grundkreisradius = 5cm). Berechne, wie hoch (cm) das Wasser im Kegel stehen wird.

 

Ich hab schon folgendes Berechnet:

 

Kreisfläche = π * r2          VZylinder = 10cm * 78,5cm2 = 785cm3                VKegel = 1/3 * G * h = 1/3 * 78,5cm2 * 10cm = 261,6cm3

 

Weiter weiß ich jetzt nicht, also ich weiß nicht, wie man cm3 in dm3 umrechnet, um die Liter zu bekommen.

Und dann würde ich machen 0,9l - LiterZylinder = LiterKegel.

 

Am Ende wüsste ich aber auch nicht, wie man berechnet, wie hoch das Wasser im Kegel steht (übrigens ist der Kegel mit der Spitze nach unten!!)

Also bitte kann mir einer von euch sagen wie man die beiden Sachen berechnet? Es ist sehr wichtig und ich würde mich wirklich über eine gute Antwort freuen!

 04.02.2016

Beste Antwort 

 #3
avatar+26213 
+5

0,9l Wasser werden zuerst in einen Zylinder(Höhe = 10cm, Radius = 5cm) geschüttet, das übrige Wasser kommt in einen Kegel(Höhe = 10cm, Grundkreisradius = 5cm). Berechne, wie hoch (cm) das Wasser im Kegel stehen wird.

Wie hoch das Wasser im Kegel steht (übrigens ist der Kegel mit der Spitze nach unten!)

 

Ich würde folgendermaßen rechnen:

 

1.) Umrechnung von 0,9 l Wasser nach \(cm^3\):
\(\begin{array}{rcll} 0,9\ l &=& 0,9\ dm^3 \\ &=& 0,9\ dm^3 \cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\\ &=& 0,9 \cdot 1000\ \ cm^3\\ \mathbf{0,9\ l } & \mathbf{=} & \mathbf{900\ \ cm^3 }\\ \end{array}\)

 

2.) Berechnung der Zylinderfläche:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{Zylinder} &=& \pi\cdot r_{Zylinder}^2 \cdot h_{Zylinder} \qquad & | \qquad r_{Zylinder} = 5\ cm \qquad h_{Zylinder} = 10\ cm\\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 5\ cm^2 \cdot 10\ cm \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 25 \cdot 10\ cm^3 \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 250\ cm^3 \\ \mathbf{V_{Zylinder}} &\mathbf{=}& \mathbf{785.398163397\ cm^3} \\ \end{array} }\)

 

Für den Kegel bleiben noch \(900\ cm^3 - 785.398163397\ cm^3 = 114.601836603\ cm^3\) Wasser.

Wir setzen\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=&114.601836603\ cm^3 \end{array} }\)

 

3.) Berechnung der Höhe des Kegels von der Spitze aus gerechnet:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}}&=& \frac13 \cdot (\pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 ) \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ \end{array} }\)

 

Berechnung von \( r_{Wasserspiegel}\) mit Strahlensatz:

\(\begin{array}{rcll} \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{r_{Kegel}}{h_{Kegel}} \qquad & | \qquad r_{Kegel} = 5\ cm \qquad h_{Kegel} = 10\ cm\\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{5\ cm}{10\ cm} \\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac12\\ r_{Wasserspiegel} &=& \frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}} \\ \end{array}\)

 

und eingesetzt:

 

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot (\frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}) ^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot \frac14 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \quad | \quad V_{\text{Kegel mit Wasser}} = 114.601836603\ cm^3\\ 114.601836603\ cm^3 &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \\ \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\cdot \frac{12}{\pi}\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 437.746770785\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}} &=& \sqrt[3]{437.746770785\ cm^3} \\ \mathbf{h_{\text{Kegel von der Spitze}} }&\mathbf{=}& \mathbf{7.59289947845\ cm} \\ \end{array} }\)

 

laugh

 04.02.2016
 #2
avatar
0

Du hast schon mal richtig angefangen:

Das Volumen im Zylinder stimmt:

\({V}_{zylinder}=785,398{cm}^{3}=0,785398{dm}^{3}\) 

Umrechnung von cm^3 in dm^3 ist 1/1000, da:

10cm*10cm*10cm=1000cm^3 10cm=1dm

\(\Rightarrow\)1dm*1dm*1dm=1dm^3

 

1 Liter Wasser ist \(1{dm}^{3}\)

Darauf folgt:

\(1{dm}^{3}-0,785398{dm}^{3}=0,215{dm}^{3}\)

 

Als nächstes brauchst du den Öffnungswinkel des Kegels:

\(tan \alpha ={r\over h} \Rightarrow \alpha = arctan({r\over h})=26,57° \Rightarrow r=tan \alpha *h\) 

Die Grundfläche berechnest du schon richtig, nur wollen wir es jetztr in abhängigkeit der Höhe ausdrücken:

\(G={r}^{2}*\pi =({tan \alpha *h})^{2}*\pi \) 

Dadurch ist das Volumen des Kegels:

\(V={1\over 3} G*h={1\over 3}*({tan \alpha })^{2}*\pi*{h}^{3}=0,125{dm}^{3}\) 

Das Volumen soll nämlich das übrige Wasser entsprechen.

 

Nun musst du nach h auflösen:

\(h=\sqrt[3]{{3*V\over \pi*({tan \alpha}) ^{2}}}=\sqrt[3]{{3*0,125{dm}^{3}\over \pi*({tan 26,57°}) ^{2}}}=\sqrt[3]{{0,375{dm}^{3}\over \pi*({0,5}) ^{2}}}=\sqrt[3]{0,4775{dm}^{3}}=0,782dm=7,82cm\)

 

Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet...

 04.02.2016
 #3
avatar+26213 
+5
Beste Antwort

0,9l Wasser werden zuerst in einen Zylinder(Höhe = 10cm, Radius = 5cm) geschüttet, das übrige Wasser kommt in einen Kegel(Höhe = 10cm, Grundkreisradius = 5cm). Berechne, wie hoch (cm) das Wasser im Kegel stehen wird.

Wie hoch das Wasser im Kegel steht (übrigens ist der Kegel mit der Spitze nach unten!)

 

Ich würde folgendermaßen rechnen:

 

1.) Umrechnung von 0,9 l Wasser nach \(cm^3\):
\(\begin{array}{rcll} 0,9\ l &=& 0,9\ dm^3 \\ &=& 0,9\ dm^3 \cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\cdot \frac{10\ cm}{1\ dm}\\ &=& 0,9 \cdot 1000\ \ cm^3\\ \mathbf{0,9\ l } & \mathbf{=} & \mathbf{900\ \ cm^3 }\\ \end{array}\)

 

2.) Berechnung der Zylinderfläche:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{Zylinder} &=& \pi\cdot r_{Zylinder}^2 \cdot h_{Zylinder} \qquad & | \qquad r_{Zylinder} = 5\ cm \qquad h_{Zylinder} = 10\ cm\\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 5\ cm^2 \cdot 10\ cm \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 25 \cdot 10\ cm^3 \\ V_{Zylinder} &=& \pi\cdot 250\ cm^3 \\ \mathbf{V_{Zylinder}} &\mathbf{=}& \mathbf{785.398163397\ cm^3} \\ \end{array} }\)

 

Für den Kegel bleiben noch \(900\ cm^3 - 785.398163397\ cm^3 = 114.601836603\ cm^3\) Wasser.

Wir setzen\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=&114.601836603\ cm^3 \end{array} }\)

 

3.) Berechnung der Höhe des Kegels von der Spitze aus gerechnet:

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}}&=& \frac13 \cdot (\pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 ) \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ \end{array} }\)

 

Berechnung von \( r_{Wasserspiegel}\) mit Strahlensatz:

\(\begin{array}{rcll} \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{r_{Kegel}}{h_{Kegel}} \qquad & | \qquad r_{Kegel} = 5\ cm \qquad h_{Kegel} = 10\ cm\\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac{5\ cm}{10\ cm} \\ \frac{r_{Wasserspiegel}}{h_{\text{Kegel von der Spitze}}} &=& \frac12\\ r_{Wasserspiegel} &=& \frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}} \\ \end{array}\)

 

und eingesetzt:

 

\(\small{ \begin{array}{rcll} V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot r_{Wasserspiegel}^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot (\frac12 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}) ^2 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac13 \cdot \pi\cdot \frac14 \cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3\\ V_{\text{Kegel mit Wasser}} &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \quad | \quad V_{\text{Kegel mit Wasser}} = 114.601836603\ cm^3\\ 114.601836603\ cm^3 &=& \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 \\ \frac{1}{12} \cdot \pi\cdot h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 114.601836603\cdot \frac{12}{\pi}\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}}^3 &=& 437.746770785\ cm^3 \\ h_{\text{Kegel von der Spitze}} &=& \sqrt[3]{437.746770785\ cm^3} \\ \mathbf{h_{\text{Kegel von der Spitze}} }&\mathbf{=}& \mathbf{7.59289947845\ cm} \\ \end{array} }\)

 

laugh

heureka 04.02.2016
 #4
avatar
0

Hab mich bei dem Volumen, der im Kegel sein soll leider total verhaun, wenn man 114,6 cm^3 einsetzt, kommt, wie bei heureka eine Füllhöhe von 7,598 cm raus.

 

Gruß

Gast

 04.02.2016
 #5
avatar+14537 
+5

Guten Morgen Gast 1 und 2 , guten Morgen  heureka !

 

Bei meiner ersten Antwort hatte ich mich total "verhauen" !!  (ist gelöscht !)

 

Hier nun meine  richtige  Lösung :

 

Volumen Kegel :     V(K) = 261,8 cm³              Höhe des Kegels                    h(K) = 10 cm

Volumen Wasser ;  V(W) = 114,6018 cm³        Höhe des Wasserstandes      h(W)  ist gesucht

 

\(\frac{V(W)}{V(K)}=\frac{h(W)^3}{h(K)^3}\)

 

\(h(W)=\sqrt[3]{V(W)*h(K)^3:V(K)}\)

 

Rechner:    sqrt3((114.6018*10^3/261.8)) = 7.592892751598051

 

Antwort:  Das Wasser steht in dem Kegel ( Spitze unten )  7,593 cm  hoch .

 

Gruß radix smiley !

 05.02.2016

59 Benutzer online

avatar