heureka

Ein Wal bewegt sich auf der Geraden  \(w: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix} \)

Wenn die Zahlen Kilometerangaben sind, dann errechnet sich folgendes:

Wir setzen:

\(\begin{array}{lcl} \vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} \qquad \vec{r}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix} \quad r = |\vec{r}| = \sqrt{4+4+0,5^2} = \sqrt{8,25}\\\\ \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{r}\\\\ \vec{s} = \begin{pmatrix} 3\\0\\-0,15 \end{pmatrix} \end{array} \)

(a)  Bestimme die Zeitdauer von der ersten Ortung des Fischschwarms bis zum Fang.

Wir berechnen zuerst den Zeitpunkt des fangens. Dann ist \(\vec{x} = \vec{s} = \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r}\)

Der Zeitpunkt des fangens ist \(t_{\text{Fang}}\):

\(\begin{array}{rcll} \vec{s} &=& \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} \\ \vec{s}-\vec{a} &=& t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} \qquad &| \qquad \cdot \vec{r} \\ (\vec{s}-\vec{a})\cdot \vec{r} &=& t_{\text{Fang}} \cdot (\vec{r} \cdot \vec{r}) \qquad &| \qquad \vec{r} \cdot \vec{r} = |\vec{r}^2| = r^2 = 8,25\\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{(\vec{s}-\vec{a})\cdot \vec{r}} {r^2} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ \left[\begin{pmatrix} 3\\0\\-0,15 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} \right]\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix}} {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0,25 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix}} {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ 1\cdot 2 + (-1)(-2) + 0,25\cdot 0,5 } {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ 2 + 2 + 0,25\cdot 0,5 } {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ 4.125 } {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& 0,5\ \text{Stunden}\\ \end{array}\)

Bestimme die Zeitdauer von der ersten Ortung des Fischschwarms bis zum Fang:

Der Wal war bei der ersten Ortung des Fischschwarms 2,5 km entfernt.

\(\begin{array}{rcll} | \vec{x_\text{Fang}} - \vec{x_\text{1. Ortung}} | &=& 2,5\ km \\ | \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} - ( \vec{a} + t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ | \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} - \vec{a} - t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ | t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} - t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ | (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}})| \vec{r} | &=& 2,5\ km \qquad | \qquad |\vec{r}| = r = \sqrt{8,25}\\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) \sqrt{8,25} &=& 2,5\ km \\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) &=&\frac{ 2,5 } { \sqrt{8,25} }\\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) &=&0,8703882798\ \text{Stunden}\\ \end{array}\)

Die Zeitdauer von der ersten Ortung des Fischschwarms bis zum Fang beträgt 0,8703882798 Stunden.

(b)  Wo befand sich der Wal im Moment der ersten Ortung?

\(\begin{array}{rcll} (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) &=& \frac{ 2,5 } { \sqrt{8,25} }\\ t_{\text{1. Ortung}} &=& t_{\text{Fang}} - \frac{ 2,5 } { \sqrt{8,25} }\\ t_{\text{1. Ortung}} &=& 0,5\ \text{Stunden} - 0,8703882798\ \text{Stunden}\\ t_{\text{1. Ortung}} &=& -0,3703882798\ \text{Stunden}\\\\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \vec{a} + t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} \\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} -0,3703882798 \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix} \\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \begin{pmatrix} 2 -0,3703882798 \cdot 2 \\ 1 -0,3703882798 \cdot (-2) \\ -0,4 -0,3703882798 \cdot 0,5 \end{pmatrix} \\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \begin{pmatrix} 1,2592234404 \\ 1,7407765596 \\ -0,5851941399 \end{pmatrix} \\ \end{array}\)

The kinetic energy (E) of an object, in joules, is found using the formula 𝐸=12𝑚𝑣2, where m is the mass in kg and v is the velocity of the object in m/s.

\(E_{\text{kinetic}} = \frac{1}{2} m v^2.\)

(a) Determine E when m = 2 kg and v = 1.2 m/s.

\(\begin{array}{rcl} E &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \qquad m = 2\ \mathrm{kg} \qquad v = 1.2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ E &=& \frac{1}{2} \cdot 2\ \mathrm{kg} \cdot (1.2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}})^2 \\ E &=& 1.2^2\ \frac{ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} \\ E &=& 1.44 \ \frac{ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} \\ \boxed{~ \begin{array}{rcl} \frac{ 1\ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} &=& 1\ J \end{array} ~}\\ \text{in joules }: \qquad E &=& 1.44 \ \ J \\ \end{array}\)

(b) Determine m when E = 162 joules and v = 9 m/s.

\(\begin{array}{rcl} E &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &=& E \\ m \cdot v^2 &=& 2 \cdot E \\ \mathbf {m} & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{ 2 \cdot E }{ v^2 }} \\ \boxed{~ \begin{array}{rcl} 1\ J &=& \frac{ 1\ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} \end{array} ~}\\ m & = & \dfrac{ 2 \cdot E }{ v^2 } \qquad E=162\ \mathrm{J}=162 \frac{ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} \qquad v = 9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ m & = & \dfrac{ 2 \cdot 162 \frac{ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} }{ (9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}})^2 } \\ m & = & \dfrac{ 324 \frac{ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}} }{ 81\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{s^2}} } \\ m & = & 4 \dfrac{ \mathrm{\mathrm{kg}\cdot m^2\cdot s^2}}{\mathrm{s^2\cdot m^2}} \\ m & = & 4 \ \mathrm{kg} \\ \end{array}\)

If 0 was in column a 1 in column b 2 in column c 3 in column d 4 in column e 5 in column f 6 in column g 7 in column a etc. in which column would 500 appear in

\(\begin{array}{|c|r|r|} \hline & n& n \pmod 7 \\ \hline a & 0 & 0\\ b & 1 & 1\\ c & 2 & 2\\ \color{red}d & 3 & \color{red}3\\ e & 4 & 4\\ f & 5 & 5\\ g & 6 & 6\\ \hline a & 7 & 0\\ b & 8 & 1\\ c & 9 & 2\\ d & 10 & 3\\ e & 11 & 4\\ f & 12 & 5\\ g & 13 & 6\\ \hline \dots &\dots & \dots \\ \color{red}d & 500 & \color{red}3 \\ \hline \end{array}\)

500 appear in d

Take the day number of your birthday (eg. If your birthday is 28 April, take 28). Multiply your number by 4. Add 14. Multiply the result by 25. Subtract 230. Add the month number of your birthday (ie. May = 5, November = 11) Subtract 120. Following the steps above works out your birthday. For example, if your birthday is 19 August the result of the formula is 1908. Using algebra, show how this trick works. (Hint: Let the day number = d and the month number = m)

\(\begin{array}{rcll} ( d \cdot 4 + 14 ) \cdot 25 - 230 + m - 120 \\ &=& ( d \cdot 4 + 14 ) \cdot 25 - 350 + m \\ &=& d \cdot 4\cdot 25 + 14 \cdot 25 - 350 + m \\ &=& d \cdot 100 + 350 - 350 + m \\ &=& d \cdot 100 + m \\ \end{array}\)

(A); s= d/t (t)

and

(B): A=\pi r2 (r)

(A):

\(\begin{array}{rcll} s &=& \dfrac{d}{t} \qquad &| \qquad \cdot t \\ s\cdot t &=& d \qquad &| \qquad :s \\ t &=& \dfrac{d}{s} \\ \end{array}\)

(B):

\(\begin{array}{rcll} A &= &\pi r^2 \\ \pi r^2 &= & A \qquad &| \qquad :\pi \\ r^2 &= & \dfrac{A}{\pi} \qquad &| \qquad \sqrt{} \\ r &= & \sqrt{\dfrac{A}{\pi}} \\ \end{array}\)

wie lange wäre die dauer von 15.479 videos wovon jedes ungefähr 20 min dauert ich hätte gerne Tage dange für eure hilfe :)

\(15479\ \text{ videos } \cdot 20\ \text{ Min. } = 309580 \ \text{ Min. }\\ 309580 \ \text{ Min. } \cdot \frac{ \text{1 Tag} } { { 60\ \text{ Min. }} } = 5159.67\ \text{Tage} \)

Es dauert rund 5160 Tage.

e) Verringert man das 7-Fache einer Zahl um 12, so erhält man dasselbe, wie wenn man das doppelte der gesuchten Zahl um 8 vergrößert.

\(\begin{array}{rcll} 7x-12 &=& 2x+8\\ 5x&=&20\\ x&=&4 \end{array}\)

f) Wenn man das 10-Fache einer Zahl um 1 vermindert erhält man 0.

\(\begin{array}{rcll} 10x -1 &=& 0\\ 10x &=& 1 \\ x &=& 0,1 \\ \end{array}\)

g) Wenn man eine Zahl um 21 vergrößert, erhält man dasselbe, wie wenn man das 5-Fache der Zahl um 3 verrößert.

\(\begin{array}{rcll} x+21 &=& 5x+3\\ 21 &=& 4x+3\\ 18 &=& 4x\\ \frac{18}{4} &=& x\\ \frac{9}{2} &=& x\\ x &=& \frac92\\ x &=& 4,5\\ \end{array}\)

h) Das 9-Fache einer Zahl ist um 75 größer als das 4-Fache der gesuchten Zahl.

\(\begin{array}{rcll} 9x &=& 4x +75\\ 5x &=& 75\\ x &=& 15\\ \end{array}\)

Ich verstehe so ne Aufgabenstellung nicht : a^loga(y)=a^loga(a^x)=a= ?

Was soll ich da bitteschön machen?

Eine Funktion und eine inverse(Umkehr)- Funktion heben sich gegenseitig auf.

1. Beispiel: So wie beispielsweise \(\left(\sqrt{x}\right)^2 = x\) . Das \(x^2\) und die \(\sqrt{()}\) heben sich auf.

2. Beispiel: \(\sin{ ( \arcsin{(x)} ) } = x\).

sin(x) und arcsin(x), die Umkehrfunktion von sin(x) heben sich auf.

3. Beispiel: log(x) und die Umkehrfunktion \(10^x\) heben sich gegenseitig auf. \(\log_{10}{(10^x)} = x\) oder umgekehrt

\(10^{\log{(x)}} = x\). Ob ich zuerst die Funktion mit der Umkehrfunktion oder die Umkehrfunktion mit der Funktion verwende ist egal, die beiden Funktionen heben sich gegenseitig auf.

Denn beide Funktionen sind jeweils die Umkehrfunktion der anderen Funktion.

\(a^{log_a(y)} = a^{log_a(a^x)} = \ ?\)

\(a^x \text{ und } \log_a{(x)} \) sind Funktion und Umkehrfunktion und heben sich gegenseitig auf, als würde keine Funktion dort stehen.

\(a^{log_a(y)} = a^{log_a(a^x)} \) bedeutet nicht anderes als \(y = a^x\)

nun kann nach a aufgelöst werden:

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} y &=& a^x \\ y^{\frac{1}{x}} &=& a\\ a &=& y^{\frac{1}{x}} \end{array} ~}\)

how do you solve ln e^x =6

\(\begin{array}{rcll} \ln{ ( e^x ) } &=& 6 \\ x &=& 6 \end{array}\)

\(\dfrac{ \sqrt{x-1}\cdot(1-6x)- \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot (x-3x^2) } { x-1 }\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} &=& \left[ \dfrac{ \sqrt{x-1}\cdot(1-6x)- \frac{1}{2\cdot \sqrt{x-1}}\cdot (x-3x^2) } { x-1 } \right] \cdot \dfrac{ 2\cdot \sqrt{x-1} } { 2\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ \sqrt{x-1}\cdot 2\cdot \sqrt{x-1}\cdot(1-6x)- \frac{2\cdot \sqrt{x-1}}{2\cdot \sqrt{x-1}}\cdot (x-3x^2) } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left(\sqrt{x-1}\right)^2 \cdot(1-6x)-(x-3x^2) } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot (x-1) \cdot(1-6x)- (x-3x^2) } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot (x-1) \cdot(1-6x)- x + 3x^2 } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot ( x-6x^2-1+6x )- x + 3x^2 } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot ( 7x-6x^2-1 )- x + 3x^2 } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 14x-12x^2-2 - x + 3x^2 } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ 13x-9x^2-2 } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ -9x^2+13x-2 } { 2\cdot (x-1)\cdot \sqrt{x-1} } \\\\ &=& \dfrac{ -9x^2+13x-2 } { 2\cdot (x-1)\cdot (x-1)^{\frac12} } \\\\ &=& \dfrac{ -9x^2+13x-2 } { 2\cdot(x-1)^{\frac32} } \\\\ \end{array} }\)