heureka

determine the value of k for which this equation has two real roots: kx^2+6x+5=0

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\\\ D = b^2-4ac\)

discriminant  D > 0 ( two real roots )

a = k

b = 6

c = 5

D = 6*6 - 4*k*5

D = 36 -20k

D > 0 ( two real roots ):

\(\begin{array}{rcll} 36 - 20k &>& 0 \qquad &| \qquad -36\\ -20k &>& -36 \qquad &| \qquad \cdot(-1)\\ 20k &<& 36 \qquad &| \qquad :20\\ k &<& \frac{36}{20} \\ k &<& \frac{9}{5} \\ \mathbf{k} &\mathbf{<}& \mathbf{1.8} \\ \end{array}\)

Wie klammert man hier es aus ? {nl} Ich versteh die reihenfolge nicht.

0,5 ((n+1+1)+1)(2y+x(n+1))

Zuerst die inneren Klammern bis zu den äußersten Klammern.

\(\begin{array}{rcll} &0,5 \cdot &(&\color{red}(\color{black}&n+1+1&\color{red})\color{black} &+1&) &(&2y+x&\color{red}(\color{black}&n+1&\color{red})\color{black}&)& \\ \text{Die Klammerstufe }& &1& 2 & & 2 & &1 &1& &2 & & 2 &1& \\ \end{array} \)

Zuerst die roten Klammern mit der Klammerstufe 2 auflösen, sie haben die höchste Klammerstufe, sind also im innersten.

Danach die schwarzen Klammern mit der Klammerstufe 1 auflösen.

\(\small{ \text{Die Klammerstufe: }\\ \begin{array}{rcll} &1& 2 & & 2 & &1 &1& &2 & & 2 &1& \\ 0,5 \cdot &(&\color{red}(\color{black}&n+1+1&\color{red})\color{black} &+1&) &(&2y+x\cdot &\color{red}(\color{black}&n+1&\color{red})\color{black}&)& \\ = 0,5 \cdot &(&&n+1+1& &+1&) &(&2y+x\cdot n + x &&&&)& \\ = 0,5 \cdot &(&&n+3& & &) &(&2y+x\cdot n + x &&&&)& \\ = 0,5 \cdot &(&&n\cdot 2y + x\cdot n^2+n\cdot x + 6y + 3x\cdot n+3\cdot x & & &) && &&&&& \\ = 0,5 \cdot &(&&n\cdot 2y + x\cdot n^2+ 4n\cdot x + 6y +3\cdot x & & &) && &&&&& \\ = 0,5 \cdot &(&&n\cdot 2y + x\cdot n^2+ 4n\cdot x + 6y +3\cdot x & & &) && &&&&& \\ \end{array} }\\ \small{ \begin{array}{rcll} = n\cdot y + 0,5x\cdot n^2+ 2n\cdot x + 3y +1,5\cdot x \end{array} }\)

Hallo ich bräuchte eine Erklärung warum 

f(x) = ax

abgeleitet

f'(x) = ax log(a)   

Ich versteh das prinzip dahinter nicht.

I. Möglichkeit

\(\begin{array}{rcll} y &=& a^x \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(y)} &=& \ln{(a^x)} \qquad & | \qquad \boxed{~ \ln{(a^x)}=x\ln{(a)} ~}\\ \ln{(y)} &=& x\ln{(a)} \\ (~ \ln{(y)} ~)' &=& (~ x\ln{(a)} ~)' \qquad & | \qquad (~\ln{(y)}~)' = \frac{y'}{y} \qquad (~x\ln{(a)}~)'= \ln{(a)}\\ \frac{y'}{y} &=& \ln{(a)} \\ y' &=& y \cdot \ln{(a)} \qquad & | \qquad y = a^x \\ \mathbf{y'} &\mathbf{=}& \mathbf{ a^x \cdot \ln{(a)} }\\ \end{array}\)

II. Möglichkeit

Umwandlung der Basis a zur Basis e

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} a^x &=& e^z \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(a^x)} &=& \ln{(e^z)} \\ x\cdot \ln{(a)} &=& z\cdot \ln{(e)} \qquad & | \qquad \boxed{~ \ln{(e)}=1 ~}\\ x\cdot \ln{(a)} &=& z \\ z &=& x\cdot \ln{(a)}\\ a^x &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} \boxed{~\text{Formel: } \qquad y= e^x \qquad y'=e^x ~}\\\\ y &=& a^x = e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ y &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ y' &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \cdot (~ x\ln{(a)} ~)' \qquad & | \qquad (~x\ln{(a)}~)'= \ln{(a)}\\ y' &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \cdot \ln{(a)} \qquad & | \qquad e^{x\cdot \ln{(a)}} = a^x\\ y' &=& a^x \cdot \ln{(a)} \\ \mathbf{y'} &\mathbf{=}& \mathbf{ a^x \cdot \ln{(a)} }\\ \end{array}\)

(5+6i)(5-6i)+14

\((5+6i)(5-6i)+14\\ =5^2 -(6i)^2+14\\ = 25-36i^2+14\\ =39-36i^2\qquad | \qquad \boxed{~i^2=-1~}\\ =39-36\cdot(-1)\\ =39+36\\ =75\\ \mathbf{(5+6i)(5-6i)+14 = 75}\)

Hallo! Kann mir jemand die Termvereinfachung anhand folgendem Beispiel möglichst einfach erklären?

((xy/x-y) + x)/((xy/x+y)-x)=?

Soweit ich die Klammerung verstanden habe:

\(\begin{array}{lcl} \dfrac{ \frac{xy}{x-y} + x}{ \frac{xy}{x+y}-x}&=& ? \\\\ &=& \dfrac{ \dfrac{xy+x(x-y)}{x-y} }{ \dfrac{xy-x(x+y)}{x+y} } \\\\ &=& \left[ \dfrac{xy+x(x-y)}{x-y} \right] \cdot \left[ \dfrac{x+y} {xy-x(x+y)} \right] \\\\ &=& \left[ \dfrac{xy+x(x-y)}{xy-x(x+y)} \right] \cdot \left( \dfrac{x+y} {x-y} \right) \\\\ &=& \left( \dfrac{xy+x^2-xy}{xy-x^2-xy} \right) \cdot \left( \dfrac{x+y} {x-y} \right) \\\\ &=& \left( \dfrac{x^2}{-x^2} \right) \cdot \left( \dfrac{x+y} {x-y} \right) \\\\ &=& - \left( \dfrac{x+y} {x-y} \right) \\\\ &=& \dfrac{x+y} {y-x} \\\\ &=& \dfrac{y+x} {y-x} \end{array}\)

You own a car that consumes diesel fuel at a rate of 6.7L/100km. On a 2500km trip to the East Coast you estimate that the average fuel price will be $0.93/L. What will your estimated fuel cost to drive the 2500km trip?

\(\small{ \begin{array}{lcl} 2500\ km \cdot \left( \frac{6.7\ l}{100\ km} \right) \cdot \left( \frac{$0.93}{1\ l} \right)\\ &=& \dfrac{2500 \cdot 6.7\cdot 0.93}{100} \\ &=&$155.775 \end{array} }\)

The 2500km trip will cost $155.78

Ich muss die Abflussspende von 5,13 l/(s*km²) in die Einheit mm/a umrechnen.

Das "a" steht für "Annum", also Millimeter pro Jahr.

Aber wie lang ist dein Jahr, bzw. wie viele Sekunden hat dein Jahr ?

Eine verbindliche Norm für die Länge eines Jahres gibt es nicht.

Ich gehe von folgender Definition des Jahres aus:

1 Jahr = 365,2425 Tage = 31 556 952 Sekunden [s]

\(\boxed{~ 5,13 \cdot \left[ \frac{l}{s\cdot km^2} \right]\rightarrow \left[ \frac{mm}{a} \right] ~}\)

[l] sind Liter

[s] sind Sekunden

[km] sind Kilometer

\(\small{ \begin{array}{lcl} 5,13 &\cdot& \left[ \frac{l}{s\cdot km^2} \right] \cdot \left[\frac{1\ dm^3}{1\ l} \right] \cdot \left[\frac{100\ mm}{1\ dm}\right] \cdot \left[\frac{100\ mm}{1\ dm}\right] \cdot \left[\frac{100\ mm}{1\ dm}\right]\cdot\\ &\cdot& \left[\frac{1\ km}{1000\ m}\right] \cdot \left[\frac{1\ km}{1000\ m}\right] \cdot \left[\frac{1\ m}{1000\ mm}\right] \cdot \left[\frac{1\ m}{1000\ mm}\right] \cdot \left[\frac{31556952\ s}{1\ a}\right]\\\\ &=& 5,13 \cdot \frac{10^6\cdot 31556952}{10^{12}} \cdot \left[ \frac{mm}{a} \right]\\ &=& 5,13 \cdot \frac{31556952}{10^6} \cdot \left[ \frac{mm}{a} \right]\\ &=& 5,13 \cdot 31.556952 \cdot \left[ \frac{mm}{a} \right]\\ &=& 161.887163760 \cdot \left[ \frac{mm}{a} \right]\\\\ \mathbf{5,13 \cdot \left[ \frac{l}{s\cdot km^2} \right] }&\mathbf{=}& \mathbf{161.88716376 \cdot \left[ \frac{mm}{a} \right]} \end{array} }\)

250[1-(1+0.024)^-10]

\(\small{ \begin{array}{lcll} 250\cdot [1-(1+0.024)^{-10}] &=& \qquad & | \qquad 1+0.024 = 1.024\\ &=& 250\cdot \left( 1-1.024^{-10} \right) \qquad & | \qquad 1.024^{-10} = \frac{1}{1.024^{10}}\\ &=& 250\cdot \left( 1-\frac{1}{1.024^{10}} \right) \qquad & | \qquad \frac{1}{1.024^{10}} = 0.7888609052 \\ &=& 250\cdot \left( 1-0.7888609052 \right) \qquad & | \qquad 1-0.7888609052 = 0.2111390948 \\ &=& 250\cdot 0.2111390948\\ &=& 52.7847736947\\ \mathbf{250\cdot [1-(1+0.024)^{-10}] }&\mathbf{=}& \mathbf{52.7847736947} \\ \end{array} }\)

Determine the area of a triangle having the following measurements. Round your answer to two decimal places. how would you go about using b=83deg.22" a=6 c=8

\(\begin{array}{lcll} B=83^{\circ} 0' 22'' \\ = 83 + \frac{ 0+ \frac{22}{60} } {60} \\ = 83.0061111111^{\circ}\\\\ a=6 \quad c=8 \\\\ \begin{array}{rcl} A&=& ?\\ A &=& \frac12 \cdot a\cdot c \cdot \sin{(B)} \\ A &=& \frac12 \cdot 6\cdot 8 \cdot \sin{(83.0061111111^{\circ})} \\ A &=& \frac12 \cdot 6\cdot 8 \cdot 0.9925591445 \\ \mathbf{A} &\mathbf{=}& \mathbf{23.8214194670} \\ \end{array} \end{array}\)

-9+a 

------   >1

15

\(\begin{array}{rcll} \frac{-9+a}{15} &>& 1 \qquad & | \qquad \cdot 15\\ -9+a &>& 15 \qquad & | \qquad +9\\ a &>& 15 +9\\ \mathbf{a} &\mathbf{>}& \mathbf{24} \\ \end{array}\)