heureka

x^2+4x+y^2-10y=-20     M = ?;   r = ?

Die Kreisgleichung in Mittelpunktsform: 

$$\small{\text{$ \boxed{~~ (x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \qquad \mathrm{Der~ Mittelpunkt ~ist~ } M(a,b) ~~} $}}$$

Wir lösen die Mittelpunktsform auf und vergleichen die Koeffizienten mit unserer gegebenen Gleichung:

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} (x-a)^2+(y-b)^2 &=& r^2 \\ x^2-2ax+a^2 +y^2-2by + b^2 &=& r^2 \\ x^2\underbrace{-2a}_{=4}x +y^2\underbrace{ -2b}_{=-10}y &=& \underbrace{ r^2 - a^2 - b^2}_{=-20} \\ \end{array} $}}$$

Wir erhalten nun den Mittelpunkt des Kreises da wir nun setzen können:

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} -2a &=&4 \\ a &=& \frac{4}{-2} \\ \mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{-2} \end{array} $}}$$

und

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} -2b &=&-10 \\ b &=& \frac{-10}{-2} \\ \mathbf{b} &\mathbf{=}& \mathbf{5} \end{array} $}}$$

Der Mittelpunkt liegt bei M(-2,5) , das heißt der   $$\small{\text{$ x_{\mathrm{Mittelpunkt}}=-2 $}}$$  und der $$\small{\text{$ y_{\mathrm{Mittelpunkt}}=5 $}}$$ .

Wir haben noch $$\small{\text{$ r^2 - a^2 - b^2=-20 $}}$$  daraus können wir nun den Radius r des Kreises berechnen.

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} r^2 - a^2 - b^2 &=& -20 \\ r^2 &=& -20 +a^2+b^2 \qquad a=-2 \qquad \mathrm{und} \qquad b = 5 \\ r^2 &=& -20 +(-2)^2 + 5^2 \\ r^2 &=& -20 +4 + 25 \\ r^2 &=& 9 \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{3} \end{array} $}}$$

Der Radius des Kreises ist 3

What is a 64-bit integer?

A 64-bit integer is a 8 Byte integer.

$$\small{\text{$ \begin{array}{|r|r|r|} \hline 64\rm{Bit} & \mathrm{min} & \mathrm{max}\\ \hline \mathrm{signed} & -9,223,372,036,854,775,808 & 9,223,372,036,854,775,807 \\ \hline \mathrm{unsigned} & 0 & 18,446,744,073,709,551,615 \\ \hline \end{array} $}}$$

DIE DREI AUTOHÄUSER A;B;C ERHÖHEN MEHRFACH IHRE PREISE A ERHÖHT DIE PREISE ERST AUF 6% DANN UM 4% BZUERST AUF 5% UND DANN NOCHMALS UM 5% C ERHÖHTZUERST AUF 2% DANN UM 4% UND NOCHMALS UM 4% WO IST DER PREISAMSTIEG AM GRÖSTEN ; UND WIE VIEL % BETRÄGT DER

A:

$$\small{\text{$ \left( 1+\dfrac{6}{100} \right) \cdot \left( 1+\dfrac{4}{100} \right) = 1,06\cdot 1,04 = 1,1024 $}}$$

B:

$$\small{\text{$ \left( 1+\dfrac{5}{100} \right) \cdot \left( 1+\dfrac{5}{100} \right) = 1,05\cdot 1,05 = 1,1025 $}}$$

C:

$$\small{\text{$ \left( 1+\dfrac{2}{100} \right) \cdot \left( 1+\dfrac{4}{100} \right) \cdot \left( 1+\dfrac{4}{100} \right) = 1,02\cdot 1,04 \cdot 1,04 = 1,103232 $}}$$

Bei Autohaus C ist der Preisanstieg am größten.

  $$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} 1,103232 &=& \left( 1+ \dfrac{p}{100} \right)\\\\ \dfrac{p}{100} &=& 1,103232 -1 \\\\ \dfrac{p}{100} &=& 0,103232 \\ \\ p &=& 0,103232 * 100 \\ \\ p &=& 10,3232 \\ \end{array} $}}$$

Er beträgt 10,3232 %

Ich habe eine Reihe von Zahlen die steigen:

$$\small{\text{$ \begin{array}{lcccccccccccccccc} \mathrm{Reihe} & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & \dots & & 18 && 19\\\\ \mathrm{Wert} & 200 & & 320 & & 520 & & 800 & & 1.160 & \dots & & 13.120 && 14.600\\ \mathrm{1. Differenz} & & 120 & & 200 & & 280 & & 360 & & \dots & && 1480\\ \mathrm{2. Differenz} & & & 80 & & 80 & & 80 & & & & && \end{array} $}}$$

Die 2. Differenz = 80 ist konstant, also handelt es sich um eine Gleichung 2. Grades:

$$\small{\text{$ \begin{array}{lrcl} & y &=& ax^2+bx+c \qquad x \mathrm{~~entspricht ~der~ Reihe}\\ \\ (1) & 200 &=& a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \quad \mathrm{~~1.~Reihe}\\ (2) & 320 &=& a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \quad \mathrm{~~2.~Reihe}\\ (3) & 520 &=& a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \quad \mathrm{~~3.~Reihe}\\ \\ \hline \\ (1) & a + b + c &=& 200 \\ (2) & 4a + 2b + c &=& 320 \\ (3) & 9a + 3b + c &=& 520 \\ \\ \hline \\ (2)-(1) & 4a-a + 2b-b + c-c &=& 320-200 \\ (I) & 3a + b &=& 120 \\ \\ (3)-(2) & 9a-4a + 3b-2b + c-c &=& 520-320 \\ (II) & 5a + b &=& 200 \\ \\ \hline \\ (II)- (I) & 5a -3a + b-b &=& 200-120 \\ & 2a &=& 80 \\ & \mathbf{a} &\mathbf{=}&\mathbf {40}\\\\ & b &=& 120-3a\\ & b &=& 120 - 3\cdot 40 \\ & b &=& 120 -120 \\ & \mathbf{b} &\mathbf{=}&\mathbf {0}\\\\ & c &=& 200-a-b\\ & c &=& 200 - 40 - 0\\ & \mathbf{c} &\mathbf{=}&\mathbf {160}\\\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{$ \boxed{~~ \mathbf{ \mathrm{Wert}_{\mathrm{Reihe}} = 40\cdot \mathrm{Reihe}^2 + 160 }~~} $}}$$

Beispiele:

$$\small{\text{$ \begin{array}{lcl} \mathrm{Wert}_{ \mathbf{ 5} } &=& 40\cdot \mathbf{ 5}^2+160 \\ &=& 1000+160 \\ &=& 1160 \\\\ \mathrm{Wert}_{ \mathbf{19} } &=& 40\cdot \mathbf{19}^2+160 \\ &=& 14440 +160 \\ &=& 14600\\\\ \mathrm{Wert}_{ \mathbf{50} } &=& 40\cdot \mathbf{50}^2+160 \\ &=& 100000 +160 \\ &=& 100160 \end{array} $}}$$

The equation of the hyperbola that has a center at (0,0) , a focus at (5 , 0) , and a vertex at (-4 , 0 ) , is (x^2)/(A^2)-(y^2)/(B^2)=1

$$\dfrac{x^2}{A^2}-\dfrac{y^2}{B^2}=1$$

vertex at (-4 , 0 ):

$$\small{\text{$ \begin{array}{l} (-4,0) =(\pm A ,0)\\ A = \pm4 \end{array} $}}$$

focus at (5 , 0) :

$$\small{\text{$ \begin{array}{l} (5,0) =(\pm \sqrt{A^2+B^2} ,0)\end{array} $}}\\ \begin{array}{rcl} A^2+B^2 &=& 5^2 = 25\\ (\pm4)^2+B^2 &=& 25\\ B^2 &=& 25-16 = 9\\ B &=& \pm 3 \end{array} $}}$$

A = $$\small{\text{$\pm 4$}}$$

B = $$\small{\text{$\pm 3$}}$$

$$\dfrac{x^2}{(\pm 4)^2}-\dfrac{y^2}{(\pm 3)^2}=1$$

The equation of the hyperbola that has a center at (1,2) , a focus at (-4 , 2) , and a vertex at (-3 , 2 ) , is ((x-C)^2)/(A^2)-((y-D)^2)/(B^2)=1

$$\dfrac{(x-C)^2}{A^2}-\dfrac{(y-D)^2}{B^2}=1$$

center at (1,2):   

  $$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} x-C &=& 0 \\ 1-C &=& 0 \\ C &=& 1 \\\\ y-D &=& 0 \\ 2-D &=& 0 \\ D &=& 2 \end{array} $}}$$

vertex at (-3 , 2 ):

$$\small{\text{$ \begin{array}{l} (-3 , 2 ) - (1,2)_{\mathrm{center}} = (-4,0) =(\pm A ,0)\\ A = \pm 4 \end{array} $}}$$

focus at (-4 , 2):

$$\small{\text{$ \begin{array}{l} (-4 , 2 ) - (1,2)_{\mathrm{center}} = (-5,0) =(\pm \sqrt{A^2+B^2} ,0)\end{array} $}}\\ \begin{array}{rcl} A^2+B^2 &=& (-5)^2 = 25\\ (\pm 4)^2+B^2 &=& 25\\ B^2 &=& 25-16 = 9\\ B &=& \pm 3 \end{array} $}}$$

A = $$\small{\text{$\pm 4$}}$$

B = $$\small{\text{$\pm 3$}}$$

C = 1

D = 2

$$\dfrac{(x-1)^2}{(\pm 4)^2}-\dfrac{(y-2)^2}{(\pm 3)^2}=1$$

First solution: 

arithmetic sequence:  $$\small{\text{$ -5,~-2,~1,~4,~7,~10,~\dots ~,~22,~25,~\dots ~,~46,~49,~52 $}}$$

$$\small{\text{$\mathrm{with~} d=3,\quad t_1= -5 \qquad t_{10} = 22\quad t_{11}=25$}}$$

Second solution:

reverse arithmetic sequence:   $$\small{\text{$ 52,~49,~46,~43,~40,~37,~\dots ~,~25,~22,~\dots ~,~1,~-2,~-5 $}}$$

$$\small{\text{$\mathrm{with~} d=-3,\quad t_1= 52 \qquad t_{10} = 25\quad t_{11}=22$}}$$

with Alan's pictorial representation:

void red (suits) = 100 - 70

void blue (language) = 100 - 75

void green (beeper) = 100 - 80

void black (phone) = 100 - 85

100 - (100-70) - (100-75) - (100-80) - (100 -85) = 100 - 30 - 25 - 20 - 15 = 10

if i have a cylinder with a radius of 5, and a height of 8, what is its surface area

if i have a cylinder with a radius of 5, and a height of 8, what is its surface area. p.s. i have already worked out the answer, but my teacher and i are having a debate on what the answer was. my answer was 408.41, and hers was 408.2. Which one is right ?

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} \mathrm{radius~}r=5\\ \mathrm{height~}h=8 \\\\ \hline \\ \mathrm{surface~area~} O&=&\pi r^2+ \pi r^2 + 2\pi r*h \\ O&=&2\pi r ( r + h ) \\ O&=&2\pi 5 ( 5 + 8 ) \\ O&=&2\pi 5 \cdot 13 \\ O&=&2\cdot 5 \cdot 13 \pi \\ O&=&130 \pi \\ \end{array} $}}$$

If you set $$\small{\text{$\pi=3.14$}}$$  you get $$\small{\text{$ O=130\cdot 3.14 = 408.2 $}}$$

But if you set $$\small{\text{$\pi=3.14159265359$}}$$   you get the better answer $$\small{\text{$ O=130\cdot 3.14159265359 = 408.407044967 $}}$$