x^2+4x+y^2-10y=-20 M = ?; r = ?
Die Kreisgleichung in Mittelpunktsform:
$$\small{\text{$
\boxed{~~
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \qquad \mathrm{Der~ Mittelpunkt ~ist~ } M(a,b)
~~}
$}}$$
Wir lösen die Mittelpunktsform auf und vergleichen die Koeffizienten mit unserer gegebenen Gleichung:
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
(x-a)^2+(y-b)^2 &=& r^2 \\
x^2-2ax+a^2 +y^2-2by + b^2 &=& r^2 \\
x^2\underbrace{-2a}_{=4}x +y^2\underbrace{ -2b}_{=-10}y &=&
\underbrace{ r^2 - a^2 - b^2}_{=-20} \\
\end{array}
$}}$$
Wir erhalten nun den Mittelpunkt des Kreises da wir nun setzen können:
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
-2a &=&4 \\
a &=& \frac{4}{-2} \\
\mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{-2}
\end{array}
$}}$$
und
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
-2b &=&-10 \\
b &=& \frac{-10}{-2} \\
\mathbf{b} &\mathbf{=}& \mathbf{5}
\end{array}
$}}$$
Der Mittelpunkt liegt bei M(-2,5) , das heißt der $$\small{\text{$
x_{\mathrm{Mittelpunkt}}=-2
$}}$$ und der $$\small{\text{$
y_{\mathrm{Mittelpunkt}}=5
$}}$$.
Wir haben noch $$\small{\text{$
r^2 - a^2 - b^2=-20
$}}$$ daraus können wir nun den Radius r des Kreises berechnen.
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
r^2 - a^2 - b^2 &=& -20 \\
r^2 &=& -20 +a^2+b^2 \qquad a=-2 \qquad \mathrm{und} \qquad b = 5 \\
r^2 &=& -20 +(-2)^2 + 5^2 \\
r^2 &=& -20 +4 + 25 \\
r^2 &=& 9 \\
\mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{3}
\end{array}
$}}$$
Der Radius des Kreises ist 3
