Formel herausfinden

Ich habe eine Reihe von Zahlen die steigen:

$$\small{\text{$ \begin{array}{lcccccccccccccccc} \mathrm{Reihe} & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & \dots & & 18 && 19\\\\ \mathrm{Wert} & 200 & & 320 & & 520 & & 800 & & 1.160 & \dots & & 13.120 && 14.600\\ \mathrm{1. Differenz} & & 120 & & 200 & & 280 & & 360 & & \dots & && 1480\\ \mathrm{2. Differenz} & & & 80 & & 80 & & 80 & & & & && \end{array} $}}$$

Die 2. Differenz = 80 ist konstant, also handelt es sich um eine Gleichung 2. Grades:

$$\small{\text{$ \begin{array}{lrcl} & y &=& ax^2+bx+c \qquad x \mathrm{~~entspricht ~der~ Reihe}\\ \\ (1) & 200 &=& a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \quad \mathrm{~~1.~Reihe}\\ (2) & 320 &=& a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \quad \mathrm{~~2.~Reihe}\\ (3) & 520 &=& a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \quad \mathrm{~~3.~Reihe}\\ \\ \hline \\ (1) & a + b + c &=& 200 \\ (2) & 4a + 2b + c &=& 320 \\ (3) & 9a + 3b + c &=& 520 \\ \\ \hline \\ (2)-(1) & 4a-a + 2b-b + c-c &=& 320-200 \\ (I) & 3a + b &=& 120 \\ \\ (3)-(2) & 9a-4a + 3b-2b + c-c &=& 520-320 \\ (II) & 5a + b &=& 200 \\ \\ \hline \\ (II)- (I) & 5a -3a + b-b &=& 200-120 \\ & 2a &=& 80 \\ & \mathbf{a} &\mathbf{=}&\mathbf {40}\\\\ & b &=& 120-3a\\ & b &=& 120 - 3\cdot 40 \\ & b &=& 120 -120 \\ & \mathbf{b} &\mathbf{=}&\mathbf {0}\\\\ & c &=& 200-a-b\\ & c &=& 200 - 40 - 0\\ & \mathbf{c} &\mathbf{=}&\mathbf {160}\\\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{$ \boxed{~~ \mathbf{ \mathrm{Wert}_{\mathrm{Reihe}} = 40\cdot \mathrm{Reihe}^2 + 160 }~~} $}}$$

Beispiele:

$$\small{\text{$ \begin{array}{lcl} \mathrm{Wert}_{ \mathbf{ 5} } &=& 40\cdot \mathbf{ 5}^2+160 \\ &=& 1000+160 \\ &=& 1160 \\\\ \mathrm{Wert}_{ \mathbf{19} } &=& 40\cdot \mathbf{19}^2+160 \\ &=& 14440 +160 \\ &=& 14600\\\\ \mathrm{Wert}_{ \mathbf{50} } &=& 40\cdot \mathbf{50}^2+160 \\ &=& 100000 +160 \\ &=& 100160 \end{array} $}}$$

Wow danke! Ich wäre nie darauf gekommen so zu rechnen... Das merke ich mir.

Muss bei jeder w=ax²+bx+c Gleichung die zweite Differenz konstant sein? Oder war es in diesem Beispiel ein Zufall weil b=0?

Ich habe eine weitere Zahlenreihe, aber da ist keine der Differenzen konstant. Nicht mal die sechste (!) und mir fehlen weiteren Werte um zu rechnen...

Muss bei jeder w=ax²+bx+c Gleichung die zweite Differenz konstant sein?

Ja,

wenn die zweite Differenz konstant ist, oder man kann auch sagen, das die 3. Differenz 0 ist,

dann reicht zur Lösung eine Gleichung 2. Grades. Die Ordnung der arithmetischen Folge wäre dann 2.

Das hier b=0 ist, ist reiner Zufall!

Wenn die dritte Differenz konstant ist, dann reicht zur Lösung eine Gleichung 3. Grades etc.

Die Ordnung der arithmetischen Folge wäre dann 3.

Es handelt sich jeweils um eine arithmetische Folge höherer k-ter Ordnung, wenn die k. Differenz konstant ist, ansonsten handelt es sich nicht um eine arithmetische Folge.

Muss bei jeder w=ax²+bx+c Gleichung die zweite Differenz konstant sein?

Hallo Anonymous,

bei der Gleichung w=ax²+bx+c ist die zweite Differenz immer konstant, sie beträgt immer 2*a

$$\small{\text{$ \begin{array}{lcccccccccccccccc}\mathrm{Reihe} & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & \dots & & && \\\\ \mathrm{Wert} & a(1)^2+b(1)+c & & a(2)^2+b(2)+c & & a(3)^2+b(3)+c & & a(4)^2+b(4)+c & & a(5)^2+b(5)+c & \dots & & && \\ \mathrm{1. Differenz}& & 3a+b & & 5a+b & & 7a+b & & 9a+b & & \dots & && \\ \mathrm{2. Differenz} & & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2a}& & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2a} & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2a} & & & \dots & && \end{array} $}}$$