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Ich habe eine Reihe von Zahlen die steigen:
Reihe   1   2   3   4     5 ...     18     19
Wert  200 320 520 800 1.160 ... 13.120 14.600

Folgendes habe ich bereits herausgefunden:
Der Wert steigt (1 auf 2) um 120
Der Wert steigt (2 auf 3) um 200 (+80)
Der Wert steigt (3 auf 4) um 280 (+80)
Der Wert steigt (4 auf 5) um 360 (+80)
Somit erhöht sich die Wertsteigerung jedes Mal um 80.

Wenn ich den Wert für Reihe 50 berechnen möchte, will ich nicht alle darunter liegenden Werte rechnen.
Wie finde ich die zugrunde liegende Formel heraus? (so etwas wie Wert=Reihe²+Zahl oder ähnlich wäre super)

 16.06.2015

Beste Antwort 

 #1
avatar+26269 
+8

Ich habe eine Reihe von Zahlen die steigen:

$$\small{\text{$
\begin{array}{lcccccccccccccccc}
\mathrm{Reihe} & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & \dots & & 18 && 19\\\\
\mathrm{Wert} & 200 & & 320 & & 520 & & 800 & & 1.160 & \dots & & 13.120 && 14.600\\
\mathrm{1. Differenz}
& & 120 & & 200 & & 280 & & 360 & & \dots & && 1480\\
\mathrm{2. Differenz}
& & & 80 & & 80 & & 80 & & & & &&
\end{array}
$}}$$

 

Die 2. Differenz = 80 ist konstant, also handelt es sich um eine Gleichung 2. Grades:

$$\small{\text{$
\begin{array}{lrcl}
& y &=& ax^2+bx+c \qquad x \mathrm{~~entspricht ~der~ Reihe}\\
\\
(1) & 200 &=& a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \quad \mathrm{~~1.~Reihe}\\
(2) & 320 &=& a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \quad \mathrm{~~2.~Reihe}\\
(3) & 520 &=& a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \quad \mathrm{~~3.~Reihe}\\
\\
\hline
\\
(1) & a + b + c &=& 200 \\
(2) & 4a + 2b + c &=& 320 \\
(3) & 9a + 3b + c &=& 520 \\
\\
\hline
\\
(2)-(1) & 4a-a + 2b-b + c-c &=& 320-200 \\
(I) & 3a + b &=& 120 \\
\\
(3)-(2) & 9a-4a + 3b-2b + c-c &=& 520-320 \\
(II) & 5a + b &=& 200 \\
\\
\hline
\\
(II)- (I) & 5a -3a + b-b &=& 200-120 \\
& 2a &=& 80 \\
& \mathbf{a} &\mathbf{=}&\mathbf {40}\\\\
& b &=& 120-3a\\
& b &=& 120 - 3\cdot 40 \\
& b &=& 120 -120 \\
& \mathbf{b} &\mathbf{=}&\mathbf {0}\\\\
& c &=& 200-a-b\\
& c &=& 200 - 40 - 0\\
& \mathbf{c} &\mathbf{=}&\mathbf {160}\\\\
\end{array}
$}}$$

 

$$\small{\text{$
\boxed{~~ \mathbf{ \mathrm{Wert}_{\mathrm{Reihe}} = 40\cdot \mathrm{Reihe}^2 + 160 }~~}
$}}$$

 

Beispiele:

$$\small{\text{$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{Wert}_{ \mathbf{ 5} } &=& 40\cdot \mathbf{ 5}^2+160 \\
&=& 1000+160 \\
&=& 1160 \\\\
\mathrm{Wert}_{ \mathbf{19} } &=& 40\cdot \mathbf{19}^2+160 \\
&=& 14440 +160 \\
&=& 14600\\\\
\mathrm{Wert}_{ \mathbf{50} } &=& 40\cdot \mathbf{50}^2+160 \\
&=& 100000 +160 \\
&=& 100160
\end{array}
$}}$$

 

 16.06.2015
 #1
avatar+26269 
+8
Beste Antwort

Ich habe eine Reihe von Zahlen die steigen:

$$\small{\text{$
\begin{array}{lcccccccccccccccc}
\mathrm{Reihe} & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & \dots & & 18 && 19\\\\
\mathrm{Wert} & 200 & & 320 & & 520 & & 800 & & 1.160 & \dots & & 13.120 && 14.600\\
\mathrm{1. Differenz}
& & 120 & & 200 & & 280 & & 360 & & \dots & && 1480\\
\mathrm{2. Differenz}
& & & 80 & & 80 & & 80 & & & & &&
\end{array}
$}}$$

 

Die 2. Differenz = 80 ist konstant, also handelt es sich um eine Gleichung 2. Grades:

$$\small{\text{$
\begin{array}{lrcl}
& y &=& ax^2+bx+c \qquad x \mathrm{~~entspricht ~der~ Reihe}\\
\\
(1) & 200 &=& a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \quad \mathrm{~~1.~Reihe}\\
(2) & 320 &=& a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \quad \mathrm{~~2.~Reihe}\\
(3) & 520 &=& a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \quad \mathrm{~~3.~Reihe}\\
\\
\hline
\\
(1) & a + b + c &=& 200 \\
(2) & 4a + 2b + c &=& 320 \\
(3) & 9a + 3b + c &=& 520 \\
\\
\hline
\\
(2)-(1) & 4a-a + 2b-b + c-c &=& 320-200 \\
(I) & 3a + b &=& 120 \\
\\
(3)-(2) & 9a-4a + 3b-2b + c-c &=& 520-320 \\
(II) & 5a + b &=& 200 \\
\\
\hline
\\
(II)- (I) & 5a -3a + b-b &=& 200-120 \\
& 2a &=& 80 \\
& \mathbf{a} &\mathbf{=}&\mathbf {40}\\\\
& b &=& 120-3a\\
& b &=& 120 - 3\cdot 40 \\
& b &=& 120 -120 \\
& \mathbf{b} &\mathbf{=}&\mathbf {0}\\\\
& c &=& 200-a-b\\
& c &=& 200 - 40 - 0\\
& \mathbf{c} &\mathbf{=}&\mathbf {160}\\\\
\end{array}
$}}$$

 

$$\small{\text{$
\boxed{~~ \mathbf{ \mathrm{Wert}_{\mathrm{Reihe}} = 40\cdot \mathrm{Reihe}^2 + 160 }~~}
$}}$$

 

Beispiele:

$$\small{\text{$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{Wert}_{ \mathbf{ 5} } &=& 40\cdot \mathbf{ 5}^2+160 \\
&=& 1000+160 \\
&=& 1160 \\\\
\mathrm{Wert}_{ \mathbf{19} } &=& 40\cdot \mathbf{19}^2+160 \\
&=& 14440 +160 \\
&=& 14600\\\\
\mathrm{Wert}_{ \mathbf{50} } &=& 40\cdot \mathbf{50}^2+160 \\
&=& 100000 +160 \\
&=& 100160
\end{array}
$}}$$

 

heureka 16.06.2015
 #2
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0

Wow danke! Ich wäre nie darauf gekommen so zu rechnen... Das merke ich mir.

 16.06.2015
 #3
avatar
0

Muss bei jeder w=ax²+bx+c Gleichung die zweite Differenz konstant sein? Oder war es in diesem Beispiel ein Zufall weil b=0?

Ich habe eine weitere Zahlenreihe, aber da ist keine der Differenzen konstant. Nicht mal die sechste (!) und mir fehlen weiteren Werte um zu rechnen...

 18.06.2015
 #4
avatar+26269 
0

Muss bei jeder w=ax²+bx+c Gleichung die zweite Differenz konstant sein?

 

Ja,

wenn die zweite Differenz konstant ist, oder man kann auch sagen, das die 3. Differenz 0 ist,

dann reicht zur Lösung eine Gleichung 2. Grades. Die Ordnung der arithmetischen Folge wäre dann 2.

Das hier b=0 ist, ist reiner Zufall!

Wenn die dritte Differenz konstant ist, dann reicht zur Lösung eine Gleichung 3. Grades etc.

Die Ordnung der arithmetischen Folge wäre dann 3.

Es handelt sich jeweils um eine arithmetische Folge höherer k-ter Ordnung, wenn die k. Differenz konstant ist, ansonsten handelt es sich nicht um eine arithmetische Folge.

 

 18.06.2015
 #5
avatar+26269 
0

Muss bei jeder w=ax²+bx+c Gleichung die zweite Differenz konstant sein?

 

Hallo Anonymous,

bei der Gleichung w=ax²+bx+c ist die zweite Differenz immer konstant, sie beträgt immer 2*a

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{lcccccccccccccccc}\mathrm{Reihe} & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & \dots & & && \\\\
\mathrm{Wert} & a(1)^2+b(1)+c & & a(2)^2+b(2)+c & & a(3)^2+b(3)+c & & a(4)^2+b(4)+c & & a(5)^2+b(5)+c & \dots & & && \\
\mathrm{1. Differenz}& & 3a+b & & 5a+b & & 7a+b & & 9a+b & & \dots & && \\
\mathrm{2. Differenz} & & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2a}& & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2a} & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{2a} & & & \dots & &&
\end{array}
$}}$$

 

 19.06.2015

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