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x^2+4x+y^2-10y=-20

M=?; r=?

 15.06.2015

Beste Antwort 

 #3
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+8

x^2+4x+y^2-10y=-20     M = ?;   r = ?

 

Die Kreisgleichung in Mittelpunktsform: 

$$\small{\text{$
\boxed{~~
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \qquad \mathrm{Der~ Mittelpunkt ~ist~ } M(a,b)
~~}
$}}$$

 

 

Wir lösen die Mittelpunktsform auf und vergleichen die Koeffizienten mit unserer gegebenen Gleichung:

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
(x-a)^2+(y-b)^2 &=& r^2 \\
x^2-2ax+a^2 +y^2-2by + b^2 &=& r^2 \\
x^2\underbrace{-2a}_{=4}x +y^2\underbrace{ -2b}_{=-10}y &=&
\underbrace{ r^2 - a^2 - b^2}_{=-20} \\
\end{array}
$}}$$

 

 

Wir erhalten nun den Mittelpunkt des Kreises da wir nun setzen können:

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
-2a &=&4 \\
a &=& \frac{4}{-2} \\
\mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{-2}
\end{array}
$}}$$

und

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
-2b &=&-10 \\
b &=& \frac{-10}{-2} \\
\mathbf{b} &\mathbf{=}& \mathbf{5}
\end{array}
$}}$$

 

Der Mittelpunkt liegt bei M(-2,5) , das heißt der  $$\small{\text{$
x_{\mathrm{Mittelpunkt}}=-2
$}}$$
 und der $$\small{\text{$
y_{\mathrm{Mittelpunkt}}=5
$}}$$
.

Wir haben noch $$\small{\text{$
r^2 - a^2 - b^2=-20
$}}$$
 daraus können wir nun den Radius r des Kreises berechnen.

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
r^2 - a^2 - b^2 &=& -20 \\
r^2 &=& -20 +a^2+b^2 \qquad a=-2 \qquad \mathrm{und} \qquad b = 5 \\
r^2 &=& -20 +(-2)^2 + 5^2 \\
r^2 &=& -20 +4 + 25 \\
r^2 &=& 9 \\
\mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{3}
\end{array}
$}}$$

Der Radius des Kreises ist 3

 

 16.06.2015
 #1
avatar+13581 
0

Hallo anonymous!

 

x^2 + 4x + y^2 - 10y = - 20

M = ?; r = ?

 


 

 

 



Zentrum (x,y) = (2,-5).

 15.06.2015
 #2
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0

Omi67 16.06.2015
 #3
avatar+26269 
+8
Beste Antwort

x^2+4x+y^2-10y=-20     M = ?;   r = ?

 

Die Kreisgleichung in Mittelpunktsform: 

$$\small{\text{$
\boxed{~~
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \qquad \mathrm{Der~ Mittelpunkt ~ist~ } M(a,b)
~~}
$}}$$

 

 

Wir lösen die Mittelpunktsform auf und vergleichen die Koeffizienten mit unserer gegebenen Gleichung:

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
(x-a)^2+(y-b)^2 &=& r^2 \\
x^2-2ax+a^2 +y^2-2by + b^2 &=& r^2 \\
x^2\underbrace{-2a}_{=4}x +y^2\underbrace{ -2b}_{=-10}y &=&
\underbrace{ r^2 - a^2 - b^2}_{=-20} \\
\end{array}
$}}$$

 

 

Wir erhalten nun den Mittelpunkt des Kreises da wir nun setzen können:

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
-2a &=&4 \\
a &=& \frac{4}{-2} \\
\mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{-2}
\end{array}
$}}$$

und

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
-2b &=&-10 \\
b &=& \frac{-10}{-2} \\
\mathbf{b} &\mathbf{=}& \mathbf{5}
\end{array}
$}}$$

 

Der Mittelpunkt liegt bei M(-2,5) , das heißt der  $$\small{\text{$
x_{\mathrm{Mittelpunkt}}=-2
$}}$$
 und der $$\small{\text{$
y_{\mathrm{Mittelpunkt}}=5
$}}$$
.

Wir haben noch $$\small{\text{$
r^2 - a^2 - b^2=-20
$}}$$
 daraus können wir nun den Radius r des Kreises berechnen.

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
r^2 - a^2 - b^2 &=& -20 \\
r^2 &=& -20 +a^2+b^2 \qquad a=-2 \qquad \mathrm{und} \qquad b = 5 \\
r^2 &=& -20 +(-2)^2 + 5^2 \\
r^2 &=& -20 +4 + 25 \\
r^2 &=& 9 \\
\mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{3}
\end{array}
$}}$$

Der Radius des Kreises ist 3

 

heureka 16.06.2015

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