Kreisgleichung

x^2+4x+y^2-10y=-20     M = ?;   r = ?

Die Kreisgleichung in Mittelpunktsform: 

$$\small{\text{$ \boxed{~~ (x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \qquad \mathrm{Der~ Mittelpunkt ~ist~ } M(a,b) ~~} $}}$$

Wir lösen die Mittelpunktsform auf und vergleichen die Koeffizienten mit unserer gegebenen Gleichung:

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} (x-a)^2+(y-b)^2 &=& r^2 \\ x^2-2ax+a^2 +y^2-2by + b^2 &=& r^2 \\ x^2\underbrace{-2a}_{=4}x +y^2\underbrace{ -2b}_{=-10}y &=& \underbrace{ r^2 - a^2 - b^2}_{=-20} \\ \end{array} $}}$$

Wir erhalten nun den Mittelpunkt des Kreises da wir nun setzen können:

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} -2a &=&4 \\ a &=& \frac{4}{-2} \\ \mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{-2} \end{array} $}}$$

und

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} -2b &=&-10 \\ b &=& \frac{-10}{-2} \\ \mathbf{b} &\mathbf{=}& \mathbf{5} \end{array} $}}$$

Der Mittelpunkt liegt bei M(-2,5) , das heißt der   $$\small{\text{$ x_{\mathrm{Mittelpunkt}}=-2 $}}$$  und der $$\small{\text{$ y_{\mathrm{Mittelpunkt}}=5 $}}$$ .

Wir haben noch $$\small{\text{$ r^2 - a^2 - b^2=-20 $}}$$  daraus können wir nun den Radius r des Kreises berechnen.

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} r^2 - a^2 - b^2 &=& -20 \\ r^2 &=& -20 +a^2+b^2 \qquad a=-2 \qquad \mathrm{und} \qquad b = 5 \\ r^2 &=& -20 +(-2)^2 + 5^2 \\ r^2 &=& -20 +4 + 25 \\ r^2 &=& 9 \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{3} \end{array} $}}$$

Der Radius des Kreises ist 3

Hallo anonymous!

x^2 + 4x + y^2 - 10y = - 20

M = ?; r = ?

Zentrum (x,y) = (2,-5).