Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js
 

heureka

avatar
Benutzernameheureka
Punkte26396
Membership
Stats
Fragen 17
Antworten 5678

 #7
avatar+26396 
+5

how do you solve 2sin(theta) = cos(theta/3)  ?

 

  2sin(θ)=cos(θ3) we set θ=3α2sin(3α)=cos(α)  

 

Formula:2sin(3α)=cos(α)(1)sin(3α)=sin(α+2α)=sin(α)cos(2α)+cos(α)sin(2α)cos2α=12sin2(α)sin(3α)=sin(α)(12sin2(α))+2sin(α)cos2(α)sin2α=2sin(α)cos(α)sin(3α)=sin(α)(12sin2(α))+2sin(α)(1sin2(α))cos2α=1sin2(α)sin(3α)=sin(α)[(34sin2(α)]2sin(α)[(34sin2(α)]=cos(α)2[(34sin2(α)]=cot(α)8sin2(α)=6cot(α)1sin2(α)=1+cot2(α)8=[(6cot(α)][1+cot2(α)]cot3(α)6cot2(α)+cot(α)+2=0α=θ3cot3(θ3)6cot2(θ3)+cot(θ3)+2=0

 

  cot3(θ3)6cot2(θ3)+cot(θ3)+2=0  substitute:    u=cot(θ3)=1tan(θ3)θ=3arctan( 1u )±3πkk=0,1,2,3    u36u2+u+2=0  u1=5.766435484θ1=3arctan(1u1)θ1=0.515128919±3πku2=0.483611621θ2=3arctan(1u2)θ2=3.361035503±3πku3=0.717176136θ3=3arctan(1u3)θ3=2.845906583±3πk

 

Compare with wolframalpha.com http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*sin%28x%29%3Dcos%28x%2F3%29 :

we have seen:    cot3(θ3)6cot2(θ3)+cot(θ3)+2=0  

we set cot(θ3)=1tan2(θ6)2tan(θ6)and use x=tan(θ6)then cot(θ3)=1x22xwe substitute(1x22x)36(1x22x)2+(1x22x)+2=0(1x2)38x36(1x2)24x2+(1x2)2x+2=0|8x3(1x2)312x(1x2)2+4x2(1x2)+16x3=013x2+3x4x612x+24x312x5+4x24x4+16x3=0finallyx6+12x5+x440x3x2+12x1=0wolframalpha.com solution:x6+12x5+x440x3x2+12x1=0withθ6=arctan(x)±πkθ=6[arctan(x)±πk]θ=6arctan(x)±6πk

 

15.06.2015
 #5
avatar+26396 
+15

how do you solve 2sin(theta) = cos(theta/3) ?

 

  2sin(θ)=cos(θ3)  

 \mathmfFormula:  cos(3x)=4cos3(x)3cos(x)3x=θcos(θ)=4cos3(θ3)3cos(θ3)2sin(θ)=cos(θ3)21cos2θ=cos(θ3)4(1cos2θ)2=cos2(θ3)4(1cos2θ)=cos2(θ3)4( 1[4cos3(θ3)3cos(θ3)]2 )=cos2(θ3)64cos6(θ3)96cos4(θ3)+37cos2(θ3)4=0

 

substitute:    u=cos2θ3θ14=± 3arccos( ±u )±6kπk=0,1,2,3  

 

  64u396u2+37u4=0  u1=0.970804435482u2=0.189548547332u3=0.339647017333

 

Solutions:

 u1=0.970804435482okayθ=0.515128919784±6kπfalseθ=8.909649040986falseθ=0.515128919784okayθ=8.909649040986±6kπu2=0.189548547332falseθ=3.361035503365okayθ=6.063742457405±6kπokayθ=3.361035503365±6kπfalseθ=6.063742457405u3=0.339647017333okayθ=2.845906582419±6kπfalseθ=6.578871378351falseθ=2.845906582419okayθ=6.578871378351±6kπ

 

θ in rad

 

12.06.2015
 #1
avatar+26396 
+10

A beam of light from a sodium street lamp is found to have a frequency of 5.09 x 1014 Hz. What is the wavelength?

 

\boxed{\; c = f\cdot \lambda \qquad \text{ or }\qquad \lambda=\dfrac{c}{f} \qquad \text{ or }\qquad f=\dfrac{c}{\lambda} \qquad \begin{array}{rcl} c &=& \small{\text{ speed of light in vacuum }} \\\lambda &=& \small{\text{ wavelength }} \\ f &=& \small{\text{ wave's frequency }}\end{Array}\; }

 

λ=cfc=299792458 msf=5.091014 Hzλ=299792458 ms5.091014 Hzλ=2.99792458108 ms5.091014 1sλ=2.997924585.091081014 mλ=0.58898321807106 mλ=588.98321807103106 mλ=588.98321807109 mλ=588.98321807 nm

 

12.06.2015
 #2
avatar+26396 
+8

wie leite ich wurzeln ab ?

 

\boxed{ ~~ \sqrt[n]{x} &~=~& x^{ \frac{1}{n} } ~~}\\\\  \begin{array}{rcl}   (\sqrt[n]{x})' &=& (x^{ \frac{1}{n} })' \\ \\  (\sqrt[n]{x})' &=& \frac{1}{n} \cdot x^{ \frac{1}{n} -1 }\\\\  (\sqrt[n]{x})' &=& \frac{1}{n} \cdot x^{ \frac{1}{n} }\cdot x^{-1}\\\\  (\sqrt[n]{x})' &=& \frac{1}{n\cdot x} \cdot x^{ \frac{1}{n} }\\\\   (\sqrt[n]{x})' &=& \frac{ \sqrt[n]{x} }{n\cdot x}   \end{array} \\\\\\  \boxed{ ~~(\sqrt[n]{x})' ~=~ \dfrac{ \sqrt[n]{x} }{n\cdot x} ~=~ \dfrac{1}{ n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1} } } ~~ }

 

Beispiele:

(x) = x2x = 12x21 = 12x(3x) = 3x3x = 133x31 = 133x2(4x) = 4x4x = 144x41 = 144x3

 

12.06.2015
 #1
avatar+26396 
0
12.06.2015
 #8
avatar+26396 
+10

show that 7^p-6^p-1 for p > 3 prime is multiple of 43

 

\boxed{~~\textcolor[rgb]{0,150,0}{7} ^p - \textcolor[rgb]{0,0,150}{6}^p -1 \equiv 0 \mod 43 ~~, \quad \mathrm{if~~} p \mathrm{~~is~prime~and~~} p > 3.  } \\\\  \begin{array}{lrclcl}   \mathrm{Because~~ } &\textcolor[rgb]{0,150,0}{7}^6 &=& 117649 &\equiv& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \mod 43\\  \mathrm{~~and~~ }\\  &\textcolor[rgb]{0,0,150}{6}^6 &=& 46656 &\equiv& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \mod 43\\  \mathrm{~~and~~ }\\  &43 &=& \textcolor[rgb]{0,0,150}{6}\cdot \textcolor[rgb]{0,150,0}{7} + 1\\  \mathrm{~~and~~ }\\  &\textcolor[rgb]{0,0,150}{6} &=& \textcolor[rgb]{0,150,0}{7} - 1  \end{array}

 

If it can be this case generally is valid ?

\boxed{~~\textcolor[rgb]{0,150,0}{a} ^p - \textcolor[rgb]{0,0,150}{(a-1)}^p -1 \equiv 0 \mod [\textcolor[rgb]{0,150,0}{a} \textcolor[rgb]{0,0,150}{(a-1)} +1] ~~, \quad \mathrm{if~~} p \mathrm{~~is~prime~and~~} p > 3.  } \\\\   \begin{array}{lrclcl}  \mathrm{Because~~ } &\textcolor[rgb]{0,150,0}{a}^6 &&&\equiv& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \mod [\textcolor[rgb]{0,150,0}{a} \textcolor[rgb]{0,0,150}{(a-1)} +1]\\  \mathrm{~~and~~ }\\   &\textcolor[rgb]{0,0,150}{(a-1)}^6 &&&\equiv& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \mod [\textcolor[rgb]{0,150,0}{a} \textcolor[rgb]{0,0,150}{(a-1)} +1]\\  \end{array}

 

Examples:

\begin{array}{|c|c|l|l|c|}   \hline  \textcolor[rgb]{0,150,0}{a}   & \textcolor[rgb]{0,0,150}{a-1}   &\mathrm{~~multiple ~of~~ }&&\\   \hline  2 & 1 & 2*1+1 = 3 & 2^6 = 64 \equiv 1 \mod 3 & 2^p - 1^p - 1 \equiv 0 \mod 3 \\  & & & 1^6 = 1 \equiv 1 \mod 3 &\\  \hline  3 & 2 & 3*2+1 = 7 & 3^6 = 729 \equiv 1 \mod 7 & 3^p - 2^p - 1 \equiv 0 \mod 7 \\  & & & 2^6 = 64 \equiv 1 \mod 7 &\\  \hline  4 & 3 & 4*3+1 = 13 & 4^6 = 4096 \equiv 1 \mod 13 & 4^p - 3^p - 1 \equiv 0 \mod 13 \\   & & & 3^6 = 729 \equiv 1 \mod 13& \\   \hline  5 & 4 & 5*4+1 = 21 & 5^6 = 15625 \equiv 1 \mod 21 & 5^p - 4^p - 1 \equiv 0 \mod 21 \\   & & & 4^6 = 4096 \equiv 1 \mod 21& \\   \hline  6 & 5 & 6*5+1 = 31 & 6^6 = 46656 \equiv 1 \mod 31 & 6^p - 5^p - 1 \equiv 0 \mod 31 \\   & & & 5^6 = 15625 \equiv 1 \mod 31& \\   \hline  7 & 6 & 7*6+1 = 43 & 7^6 = 117649 \equiv 1 \mod 43 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{ 7^p - 6^p - 1 \equiv 0 \mod 43 } \\  & & & 6^6 = 46656 \equiv 1 \mod 43 &\\   \hline  8 & 7 & 8*7+1 = 57 & 8^6 = 262144 \equiv 1 \mod 57 & 8^p - 7^p - 1 \equiv 0 \mod 57 \\   & & & 7^6 = 117649 \equiv 1 \mod 57 &\\   \hline  \cdots & \cdots & & & \cdots\\  \hline   \end{array}

 

12.06.2015
 #2
avatar+26396 
+10

What is the area of the largest Kepler Triangle that can be inscribed in the circle whose equation is x^2 + y^2  = 9   ????

{A Kepler Triangle is a right triangle whose sides are in the ratio of 1 : √Phi : Phi....where Phi = [1 + √5] / 2 }

 

a:b:c=1:φ:φ

 

rcircle=9=3c=2rcircleφφφ=φbφφ=cb=cφφ1φ1=φaφ1=ca=cφ

 

A=ab2A=cφcφφ2A=c2φ2φ2A=2r2φφ2A=18φφ2A=8.74562889162

 

12.06.2015