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avatar+55 

3. Für \( A, B \subseteq \mathbb{R}^{n} \) setzen wir \( A+B:=\{a+b \mid a \in A, b \in B\} \). Es seien
\(
A:=\mathbb{R} \times\{0\} \subset \mathbb{R}^{2} \quad \text { und } \quad B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y=1\right\}
\)
(a) Zeigen Sie, dass \( A \) und \( B \) abgeschlossen sind.
(b) Zeigen Sie, dass \( A+B \) nicht abgeschlossen ist.

 27.04.2021
 #1
avatar+55 
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1. (a) \( \quad \) Sind die folgenden Mengen im \( \mathbb{R}^{n} \) offen, abgeschlossen oder weder das eine noch das andere? Begründen Sie Ihre Antwort.
i. \( M_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1} \neq 0\right. \) und \( \left.x_{2} \neq 0\right\} \),
ii. \( M_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid 0<\|x\|_{2} \leq 1\right\} \),
iii. \( M_{3}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\} \).
Hinweis: Beachten Sie die Methode aus Beispiel 5.6.
(b) Zwei der Mengen aus Teil
(a) sind nicht abgeschlossen. Bestimmen Sie jeweils den Abschluss.

 27.04.2021
 #3
avatar+2594 
+3

M1 ist offen, denn sie ist Komplement von {(0,0)} - und die ist abgeschlossen. M1 ist nicht abgeschlossen, denn (0,0) ist ein Randpunkt, den M1 nicht enthält.

M2 ist nicht offen, denn (1,0) ist ein Randpunkt, der in M2 enthalten ist. M2 ist aber auch nicht abgeschlossen, denn (0,0) ist ein Randpunkt, der nicht in M2 enthalten ist.

M3 ist nicht offen, denn sie besteht nur aus Randpunkten. Sie ist abgeschlossen, weil sie aus Randpunkten besteht. Um das zu zeigen, könnte man das gleiche e-Umgebungs-Argument wie in meiner anderen Antwort nutzen.

 

Der Abschluss von M1 und M2 ist jeweils die Menge vereinigt mit ihren nicht enthaltenen Randpunkten. Bei M1 ist das ganz R2, bei M2 ist das der ganze Einheitskreis.

 

Stelle neue Fragen bitte auch als neue Fragen, damit sie auch jeder finden kann. Wenn du sie hier als Antwort drunter schreibst, sieht's auf den ersten Blick aus, als wäre die Frage schon beantwortet. Das senkt die Wahrscheinlichkeit, dass dir jemand hilft.

Probolobo  27.04.2021
 #2
avatar+2594 
+3

A und B sind ja quasi nur "Linien" im R2, die sind immer abgeschlossen. (Das reicht als Beweis nicht aus, gibt aber vielleicht die passende Intuition mit.)

Für A könnte man Beispielsweise sagen, dass das Komplement von A die Vereinigung von RxR+ und RxR- ist - diese Mengen sind offen, daher ist das Komplement von A offen und somit A abgeschlossen. 

Zu B könnte man Sagen, dass jeder Punkt in B ein Randpunkt ist, denn jede Umgebung eines Punktes enthält auch Punkte, die nicht in B sind:

Ist (x, y) ein Punkt in B, so ist der Punkt (x+e/2 , y+e/2) in der e-Umgebung enthalten (für jedes e>0  !) - aber der Punkt  (x+e/2 , y+e/2) ist nicht in B, denn (x+e/2)(y+e/2) = xy +ex/2 +ey/2 +e²/4 > 1.

(Das gleiche Argument klappt auch für die Menge A übrigens)

 

Die Menge A+B hingegen enthält alle Punkte, bei denen y nicht 0 ist, denn jeder Punkt (x, y) lässt sich schreiben als

 

(x,y) = (x - 1/y , 0) + (1/y, y)   (Erster Summand aus A, zweiter aus B)

 

Ist hingegen y=0, so ist der Punkt nicht in A+B, denn in B hat kein Punkt den y-Wert 0.

Diese Menge ist nicht abgeschlossen, denn eine Abgeschlossene Menge enthält all ihre Randpunkte - für A+B ist aber beispielsweise (0,0) ein Randpunkt, den die Menge nicht enthält.

 27.04.2021
 #4
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(b) Zeigen Sie, dass A + B nicht abgeschlossen ist.

wo ist die Antwort ?

Gast 29.04.2021
 #5
avatar+2594 
+2

"Die Menge A+B hingegen enthält alle Punkte, bei denen y nicht 0 ist, denn jeder Punkt (x, y) lässt sich schreiben als

 

(x,y) = (x - 1/y , 0) + (1/y, y)   (Erster Summand aus A, zweiter aus B)

 

Ist hingegen y=0, so ist der Punkt nicht in A+B, denn in B hat kein Punkt den y-Wert 0.

Diese Menge ist nicht abgeschlossen, denn eine Abgeschlossene Menge enthält all ihre Randpunkte - für A+B ist aber beispielsweise (0,0) ein Randpunkt, den die Menge nicht enthält."

Probolobo  29.04.2021
 #6
avatar+2594 
+1

Um's vielleicht nochmal ganz klar zu machen:

Zunächst hab ich gezeigt:

\(A+B = \{ (x;y) | y \neq 0\}\)

Diese Menge hat die x-Achse als Rand, d.h. jeder Punkt auf der x-Achse ist ein Randpunkt. Sie enthält aber keinen davon. Abgeschlossene Mengen enthalten alle ihre Randpunkte. Daher kann die Menge nicht abgeschlossen sein.

Probolobo  29.04.2021

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