+107 Welche der folgenden Mengen \( K \subset \mathbb{R}^{2} \) sind kompakt? Begründen Sie Ihre Antwort. Der \( \mathbb{R}^{2} \) ist dabei mit der euklidischen Norm versehen.
(a) i.
\(
K=\bar{B}_{2}(0) \backslash \bar{B}_{1}(0)
\)
ii.
\(
\begin{array}{l}
K=\bar{B}_{2}(0) \backslash B_{1}(0) \\
K=\left\{x_{k} \mid k \in \mathbb{N}\right\} \cup B, \text { wobei }
\end{array}
\)
iii.
\(
x_{k}=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{k} \\
\cos \frac{1}{k}
\end{array}\right) \text { und } B=\left\{\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right)\right\} .
\)
(b) In mindestens einem der Fälle i)-iii) ist \( K \) nicht kompakt. Geben Sie in einem dieser Fälle eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) an, die keine in \( K \) konvergente Teilfolge besitzt.
+3976 Ist hier \(B_r(x)\) der offene Kreis mit Radius r um x? Und mit Strich 'drüber dann der Abschluss dieses Kreises?
Die b) kommt mir auch komisch vor - ich nehme an, alle Glieder der Folge sollen in einer der nicht-kompakten Mengen K liegen? Ansonsten könnte man ja jede beliebige nicht-konvergente Folge nennen, beispielsweise die Folge def. durch xn = (n,n) . Diese Folge hat nämlich überhaupt keine konvergenten Teilfolgen, daher hat sie auch keine in K konvergenten Teilfolgen.
