​ Vollständige Induktion

Beweise mit vollständiger Induktion:

$\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n$       für alle $n\in \mathbb N.$

Hallo Gast!

$\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n$

Induktionsanfang:

$n=1$  $linke\ Seite:$      $4\cdot 1-1= \color{blue}3$ 

          $rechte\ Seite:$    $2\cdot 1^2+1=\color{blue}3$

Für n = 1 sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

$\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n$

Der Induktionsschluss von n nach n + 1:

$\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)=2(n+1)^2+n+1$

linke Seite:

$\sum_{k=1}^{n+1} (4k-1)\\ =\sum_{k}^{n}(4k-1)+4(n+1)-1$

I.A.

$=4\cdot1-1+4(1+1)-1\\ =4-1+8-1\\ =\color{blue}10$

rechte Seite:

$2(n+1)^2+n+1\\ =2(1+1)^2+1+1\\ =\color{blue}10$

Für  $\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)$  sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.

qed

  !