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Guten Morgen,

 

ich benötige einmal Hilfe für folgende vollständige Induktion:

 

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n\)

 22.07.2021
 #1
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Beweise mit vollständiger Induktion:

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)       für alle \(n\in \mathbb N.\)

 

Hallo Gast!

 

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)

 

Induktionsanfang:

\(n=1\)  \(linke\ Seite:\)      \(4\cdot 1-1= \color{blue}3 \) 

          \(rechte\ Seite:\)    \(2\cdot 1^2+1=\color{blue}3\)

Für n = 1 sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)

Der Induktionsschluss von n nach n + 1:

\(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)=2(n+1)^2+n+1 \)

 

linke Seite:

\(\sum_{k=1}^{n+1} (4k-1)\\ =\sum_{k}^{n}(4k-1)+4(n+1)-1 \)

I.A.

\(=4\cdot1-1+4(1+1)-1\\ =4-1+8-1\\ =\color{blue}10 \)

rechte Seite:

\(2(n+1)^2+n+1\\ =2(1+1)^2+1+1\\ =\color{blue}10\)

 

Für  \(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)\)  sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.

qed

laugh  !

 22.07.2021
bearbeitet von asinus  22.07.2021
bearbeitet von asinus  22.07.2021
bearbeitet von asinus  22.07.2021
bearbeitet von asinus  22.07.2021
bearbeitet von asinus  22.07.2021
 #2
avatar+11870 
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Nach früherer vollständiger Induktion: 

https://web2.0rechner.de/fragen/vollst-ndige-induktion_14 

Danke heureka!

laugh  !

asinus  22.07.2021
bearbeitet von asinus  22.07.2021

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