​ Vollständige Induktion

Beweise mit vollständiger Induktion:

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)       für alle \(n\in \mathbb N.\)

Hallo Gast!

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)

Induktionsanfang:

\(n=1\)  \(linke\ Seite:\)      \(4\cdot 1-1= \color{blue}3 \) 

          \(rechte\ Seite:\)    \(2\cdot 1^2+1=\color{blue}3\)

Für n = 1 sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)

Der Induktionsschluss von n nach n + 1:

\(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)=2(n+1)^2+n+1 \)

linke Seite:

\(\sum_{k=1}^{n+1} (4k-1)\\ =\sum_{k}^{n}(4k-1)+4(n+1)-1 \)

I.A.

\(=4\cdot1-1+4(1+1)-1\\ =4-1+8-1\\ =\color{blue}10 \)

rechte Seite:

\(2(n+1)^2+n+1\\ =2(1+1)^2+1+1\\ =\color{blue}10\)

Für  \(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)\)  sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.

qed

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