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Hallo zusammen,

 

ich komme bei dieser Aufgabe nicht zum Beweis

 

1² + 3² + ... + (2n – 1)² = n * (2n – 1) * (2n + 1)

                                                           3

 

Für Hilfe bedanke ich mich.

Gruss Tommy

Kekel  14.12.2017
Sortierung: 

7+0 Answers

 #1
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Hallo Tommy
 

\(\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\)


Der Induktionsanfang ist dann k = 1 und der Induktionsschritt von \(k \rightarrow k+1\) falls du weitere Fragen hast, lass es mich wissen.

 

NichtDerEine sendet dir Grüße

NichtDerEine  15.12.2017
bearbeitet von NichtDerEine  15.12.2017
 #2
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+1

Vollständige Induktion

Beweis zu dieser Aufgabe

1² + 3² + ... + (2n – 1)² = n * (2n – 1) * (2n + 1) / 3

 

Guten Morgen Tommy!

 

Beweise, dass

\(\sum_{n=1}^{n}(2n-1)^2=1² + 3² + ... + (2n – 1)² = \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}\)

 

\(\sum_{n=1}^{1}(2n – 1)²=1² = \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}=\frac{1*1*3}{3}=1\)

\(\sum_{n=1}^{2}(2n – 1)²=1² + 3²= 1+9\\\ = \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}=\frac{2*3*5}{3}=10\)

\(\sum_{n=1}^{\color{blue}3}(2n – 1)²=1² + 3² + 5^2= 1+9+25= \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}\\=\frac{3*5*7}{3}=\large\color{blue}35\)

 

\(\sum_{n=1}^{\color{blue}n={2+1}}(2n – 1)²=1² + 3² + 5^2= 1+9+25\\ =\frac{[n+1] * (2[n+1] – 1) * (2[n+1] + 1)}{3}\\ =\frac{[2+1] * (2[2+1] – 1) * (2[2+1] + 1)}{3}\\ =\frac{3*5*7}{3}=\large\color{blue}35\)

 

\(\sum_{n=1}^{\color{blue}3}(2n – 1)²=\sum_{n=1}^{\color{blue}{n=2+1}}(2n – 1)²=\large\color{blue}35\)          \(\large q.\ e.\ d. \)

 

Schöne Adventstage wünscht euch

laugh  !

asinus  15.12.2017
bearbeitet von asinus  15.12.2017
bearbeitet von asinus  15.12.2017
 #4
avatar+109 
+1

Vielen Dank für die Antwort. Jetzt ist es eindeutiger für mich.

Eine Verständnisfrage habe ich noch:

Wieso muss ich durchrechnen bis ?

 \( {\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2n-1)²} \)

 

Sorry, ich habe bestimmt nur ein Denkfehler. 

 

Gruss Tommy

Kekel  15.12.2017
 #3
avatar+8930 
+1

Hallo zusammen,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht zum Beweis

1² + 3² + ... + (2n – 1)² = n * (2n – 1) * (2n + 1)/3

 

 

 

laugh                                                       

Omi67  15.12.2017
 #5
avatar+8930 
+1

Hallo Kekel,

falls Du noch Fragen zu den einzelnen Induktionsschritten hast,

melde Dich noch mal bei mir.

 

laugh

Omi67  15.12.2017
 #6
avatar+8930 
+1

Ich habe noch einen kleinen Fehler gesehen. Vergleiche mal mit oben. Die 2 muss weg. Es sind ja nur ungerade Zahlen.

Sorry sad

Omi67  15.12.2017
bearbeitet von Omi67  15.12.2017
 #7
avatar+109 
+1

Kein Problem. Unabhängig vom kleinen Fehler kann ich es nun nachvollziehen. Dankeschön!

Kekel  15.12.2017

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