+0  
 
0
810
4
avatar

Drei bauklötze (würfel, zylinder, kegel) wurden aufeinander gestapelt. Der Kegel past genau auf den zylinder. Der durchmesser des Zylinders ist so groß wie seine Höhe. Die Kantenlänge des Würfels ist doppelt so groß, wie der Durchmesser desZylinders. der Kegel ist 3mal so hoch wie der Zylinder. Zusammen haben sie ein Volumen von 114,27cmhoch3. Welche Kantenlänge hat der Würfel und wie groß ist die oberfläche des zusammengesetzten Körpers?

 21.06.2015

Beste Antwort 

 #4
avatar+26269 
+5

Drei bauklötze (würfel, zylinder, kegel) wurden aufeinander gestapelt. Der Kegel past genau auf den zylinder. Der durchmesser des Zylinders ist so groß wie seine Höhe. Die Kantenlänge des Würfels ist doppelt so groß, wie der Durchmesser desZylinders. der Kegel ist 3mal so hoch wie der Zylinder. Zusammen haben sie ein Volumen von 114,27cmhoch3. Welche Kantenlänge hat der Würfel und wie groß ist die oberfläche des zusammengesetzten Körpers ?

 

 

 

 

 

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{|lcr|}
\hline
d=\mathrm{Durchmesser~Zylinder} \\
\hline
&&\\
h_{\mathrm{Kegel}} &=& 3d \\
&&\\
h_{\mathrm{Zylinder}} &=& d \\
&&\\
a_{\mathrm{Wuerfel}} &=& 2d \\
&&\\
\hline
\end{array}
\begin{array}{|lclclcl|}
\hline
&&&&&&\\
V_{\mathrm{Kegel}} &=& \frac{1}{3}\pi (\frac{d}{2})^2\cdot h_{\mathrm{Kegel}} &=& \frac{1}{3}\pi (\frac{d}{2})^2\cdot 3d = \pi (\frac{d}{2})^2\cdot d &=& \pi \dfrac{d^3}{4}\\
&&&&&&\\
V_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi (\frac{d}{2})^2\cdot h_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi (\frac{d}{2})^2\cdot d &=& \pi \dfrac{d^3}{4}\\
&&&&&&\\
V_{\mathrm{Wuerfel}} &=& a^3 &=& (2d)^3 &=& 8d^3\\
&&&&&&\\
\hline
\end{array}
$}}$$

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
114,27\mathrm{~cm^3} =V_{Zusammen} &=&
V_{\mathrm{Kegel}}
+ V_{\mathrm{Zylinder}}
+ V_{\mathrm{Wuerfel}} \\\\
V &=& \pi \frac{d^3}{4} + \pi \frac{d^3}{4} + 8d^3\\\\
V &=& 2\pi \frac{d^3}{4} + 8d^3 \\\\
V &=& d^3 ( \frac{\pi}{2} + 8 )\\\\
d^3 &=& \dfrac{V}{ \frac{\pi}{2} + 8 } \\\\
\mathbf{d} &\mathbf{=}& \mathbf{ \sqrt[3]{ \dfrac{V}{ \frac{\pi}{2} + 8 } } } \\\\
d & = & \sqrt[3]{ \dfrac{114,27\mathrm{~cm^3} }{ \frac{\pi}{2} + 8 } }\\\\
\mathbf{d} &\mathbf{=}& \mathbf{ 2,285571004 \mathrm{~cm} }\\\\
a_{\mathrm{Wuerfel}} &=& 2d \\\\
\mathbf{a_{\mathrm{Wuerfel}} } &\mathbf{=}& \mathbf{ 4,57114200801\mathrm{~cm} }\\\\
\end{array}
$}}\\\\$$

 

 

Berechnung der Oberfläche O :

$$\small{\text{$
\begin{array}{|lclcrcl|}
\hline
&&&&&&\\
M_{\mathrm{Kegel}} &=& \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot s && s^2 &=& (3d)^2+ (\frac{d}{2})^2 \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& 9d^2+\frac{d^2}{4} \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& d^2 (9+\frac{1}{4}) \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& d^2 \cdot \frac{37}{4} \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& (\frac{d}{2})^2 \cdot 37 \\
&&&&&&\\
&&&& s &=& \frac{d}{2}\cdot\sqrt{37} \\
&&&&&&\\
M_{\mathrm{Kegel}} &=& \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot \frac{d}{2}\cdot\sqrt{37} &&&=& \pi \cdot \frac{d^2}{4}\cdot\sqrt{37} \\
&&&&&&\\
M_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi d\cdot h_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi d\cdot d &=& \pi d^2\\
&&&&&&\\
O_{\mathrm{Wuerfel}} &=& 6a^2 &=& 6\cdot(2d)^2 &=& 24d^2\\
&&&&&&\\
A_{\mathrm{Kreis}} &=& \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 &&&=& \pi\cdot \frac{d^2}{4} \\
&&&&&&\\
\hline
\end{array}
$}}$$

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
O_{Zusammen} &=&
M_{\mathrm{Kegel}}
+ M_{\mathrm{Zylinder}}
+ O_{\mathrm{Wuerfel}}
- A_{\mathrm{Kreis}} \\\\
&=&
\pi \cdot \frac{d^2}{4}\cdot\sqrt{37}
+ \pi d^2
+ 24d^2
- \pi\cdot \frac{d^2}{4}\\\\
&=& \frac{d^2}{4} ( \pi \cdot\sqrt{37} +4\pi + 96 -\pi ) \\\\
&=& \frac{d^2}{4} ( \pi \cdot\sqrt{37} +3\pi + 96 ) \\\\
&=& \frac{d^2}{4} [ \pi \cdot (\sqrt{37} +3 )+ 96 ] \\\\
&=& 1,30595870359\cdot 124,534340039 \\\\
\mathbf{ O_{\mathrm{Zusammen}} } &\mathbf{=}& \mathbf{162,636705270\mathrm{~cm}^2}
\end{array}
$}}$$

 

 22.06.2015
 #1
avatar+19 
+3

So schwer ist es auch nicht, wenn man sich die Volumen Formeln der einzennen Bauklötze anschaut...

$${V}{\left({\mathtt{Wuerfel}}\right)} = {{\mathtt{a}}}^{{\mathtt{3}}}$$
$${\mathtt{a}} = {\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}$$
 
$${V}{\left({\mathtt{Zylinder}}\right)} = {\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{h}}$$
$${\mathtt{h}} = {\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}$$
 
$${V}{\left({\mathtt{Kegel}}\right)} = {\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{3}}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{h}}$$
$${\mathtt{h}} = {\mathtt{6}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}$$
 
$${\mathtt{V}} = \left[{\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}\right)}^{{\mathtt{3}}}\right]{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}\left[{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}\right]{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}\left[{\frac{{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{6}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}}{{\mathtt{3}}}}\right]$$
$${\mathtt{V}} = {\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}\right)}^{{\mathtt{3}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}$$
$${\mathtt{V}} = {\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}\right)}^{{\mathtt{3}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}$$
$${\mathtt{V}} = {\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}\right)}^{{\mathtt{3}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{3}}}$$
$${\mathtt{V}} = {\mathtt{64}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{3}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{3}}}$$
$${\mathtt{V}} = {\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{3}}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\mathtt{16}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}\right)$$
$${\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{3}}} = {\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{16}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}\right)}}$$
$${{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{3}}} = {\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\mathtt{16}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}\right)\right)}}$$
$${\mathtt{r}} = {\sqrt[{{\mathtt{3}}}]{{\frac{{\mathtt{114.27}}\left[{{cm}}^{{\mathtt{3}}}\right]}{\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\mathtt{16}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}\right)\right)}}}}$$ 
$$\underset{\,\,\,\,{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{\rightarrow {\mathtt{r}}}}}{{solve}}{\left({\mathtt{r}}={\sqrt[{{\mathtt{3}}}]{{\frac{{\mathtt{114.27}}}{\left({\mathtt{4}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\mathtt{16}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{\pi}}\right)\right)}}}}\right)} \Rightarrow {\mathtt{r}} = {\sqrt[{{\mathtt{3}}}]{{\frac{{\mathtt{11\,427}}}{\left({\mathtt{400}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{6\,400}}\right)}}}} \Rightarrow {\mathtt{r}} = {\mathtt{1.142\: \!785\: \!502\: \!002\: \!022\: \!8}}$$
 
So, besser spät als garnicht :)
2r = x oder h
 21.06.2015
 #2
avatar+14538 
0

Guten Abend Anonymaus,

du hast ja schon vorgearbeitet, dann erspare ich mir weitere Brechnungen.

Ich bin mal gespannt, ob diese Berechnung richtig ist:

$${\mathtt{h}} = {\sqrt[{{\mathtt{{\mathtt{3}}}}}]{{\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{8}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{\pi}}}{{\mathtt{2}}}}\right)}}}}$$    =

 

$${\sqrt[{{\mathtt{{\mathtt{3}}}}}]{{\frac{{\mathtt{114.24}}}{\left({\mathtt{8}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{\pi}}}{{\mathtt{2}}}}\right)}}}} = {\mathtt{2.285\: \!370\: \!971\: \!532\: \!868}}$$    [cm]

 

 

Der Würfel hat eine Kantenlänge von 

2*h   =$${\mathtt{2.285\: \!370\: \!971\: \!532\: \!868}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{2}} = {\mathtt{4.570\: \!741\: \!943\: \!065\: \!736}}$$

 

Kantenläge des Würfels  gerundet  4,57 cm ,

Ich bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist.

Fehler bei der Eingabe: V = 114,27     ( nicht  114,24 !)

$${\sqrt[{{\mathtt{{\mathtt{3}}}}}]{{\frac{{\mathtt{114.27}}}{\left({\mathtt{8}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{\pi}}}{{\mathtt{2}}}}\right)}}}} = {\mathtt{2.285\: \!571\: \!004\: \!004\: \!045\: \!6}}$$   = h  = x

 

Gruß radix !

 21.06.2015
 #3
avatar+12514 
0

Omi67 21.06.2015
 #4
avatar+26269 
+5
Beste Antwort

Drei bauklötze (würfel, zylinder, kegel) wurden aufeinander gestapelt. Der Kegel past genau auf den zylinder. Der durchmesser des Zylinders ist so groß wie seine Höhe. Die Kantenlänge des Würfels ist doppelt so groß, wie der Durchmesser desZylinders. der Kegel ist 3mal so hoch wie der Zylinder. Zusammen haben sie ein Volumen von 114,27cmhoch3. Welche Kantenlänge hat der Würfel und wie groß ist die oberfläche des zusammengesetzten Körpers ?

 

 

 

 

 

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{|lcr|}
\hline
d=\mathrm{Durchmesser~Zylinder} \\
\hline
&&\\
h_{\mathrm{Kegel}} &=& 3d \\
&&\\
h_{\mathrm{Zylinder}} &=& d \\
&&\\
a_{\mathrm{Wuerfel}} &=& 2d \\
&&\\
\hline
\end{array}
\begin{array}{|lclclcl|}
\hline
&&&&&&\\
V_{\mathrm{Kegel}} &=& \frac{1}{3}\pi (\frac{d}{2})^2\cdot h_{\mathrm{Kegel}} &=& \frac{1}{3}\pi (\frac{d}{2})^2\cdot 3d = \pi (\frac{d}{2})^2\cdot d &=& \pi \dfrac{d^3}{4}\\
&&&&&&\\
V_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi (\frac{d}{2})^2\cdot h_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi (\frac{d}{2})^2\cdot d &=& \pi \dfrac{d^3}{4}\\
&&&&&&\\
V_{\mathrm{Wuerfel}} &=& a^3 &=& (2d)^3 &=& 8d^3\\
&&&&&&\\
\hline
\end{array}
$}}$$

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
114,27\mathrm{~cm^3} =V_{Zusammen} &=&
V_{\mathrm{Kegel}}
+ V_{\mathrm{Zylinder}}
+ V_{\mathrm{Wuerfel}} \\\\
V &=& \pi \frac{d^3}{4} + \pi \frac{d^3}{4} + 8d^3\\\\
V &=& 2\pi \frac{d^3}{4} + 8d^3 \\\\
V &=& d^3 ( \frac{\pi}{2} + 8 )\\\\
d^3 &=& \dfrac{V}{ \frac{\pi}{2} + 8 } \\\\
\mathbf{d} &\mathbf{=}& \mathbf{ \sqrt[3]{ \dfrac{V}{ \frac{\pi}{2} + 8 } } } \\\\
d & = & \sqrt[3]{ \dfrac{114,27\mathrm{~cm^3} }{ \frac{\pi}{2} + 8 } }\\\\
\mathbf{d} &\mathbf{=}& \mathbf{ 2,285571004 \mathrm{~cm} }\\\\
a_{\mathrm{Wuerfel}} &=& 2d \\\\
\mathbf{a_{\mathrm{Wuerfel}} } &\mathbf{=}& \mathbf{ 4,57114200801\mathrm{~cm} }\\\\
\end{array}
$}}\\\\$$

 

 

Berechnung der Oberfläche O :

$$\small{\text{$
\begin{array}{|lclcrcl|}
\hline
&&&&&&\\
M_{\mathrm{Kegel}} &=& \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot s && s^2 &=& (3d)^2+ (\frac{d}{2})^2 \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& 9d^2+\frac{d^2}{4} \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& d^2 (9+\frac{1}{4}) \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& d^2 \cdot \frac{37}{4} \\
&&&&&&\\
&&&& s^2 &=& (\frac{d}{2})^2 \cdot 37 \\
&&&&&&\\
&&&& s &=& \frac{d}{2}\cdot\sqrt{37} \\
&&&&&&\\
M_{\mathrm{Kegel}} &=& \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot \frac{d}{2}\cdot\sqrt{37} &&&=& \pi \cdot \frac{d^2}{4}\cdot\sqrt{37} \\
&&&&&&\\
M_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi d\cdot h_{\mathrm{Zylinder}} &=& \pi d\cdot d &=& \pi d^2\\
&&&&&&\\
O_{\mathrm{Wuerfel}} &=& 6a^2 &=& 6\cdot(2d)^2 &=& 24d^2\\
&&&&&&\\
A_{\mathrm{Kreis}} &=& \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 &&&=& \pi\cdot \frac{d^2}{4} \\
&&&&&&\\
\hline
\end{array}
$}}$$

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
O_{Zusammen} &=&
M_{\mathrm{Kegel}}
+ M_{\mathrm{Zylinder}}
+ O_{\mathrm{Wuerfel}}
- A_{\mathrm{Kreis}} \\\\
&=&
\pi \cdot \frac{d^2}{4}\cdot\sqrt{37}
+ \pi d^2
+ 24d^2
- \pi\cdot \frac{d^2}{4}\\\\
&=& \frac{d^2}{4} ( \pi \cdot\sqrt{37} +4\pi + 96 -\pi ) \\\\
&=& \frac{d^2}{4} ( \pi \cdot\sqrt{37} +3\pi + 96 ) \\\\
&=& \frac{d^2}{4} [ \pi \cdot (\sqrt{37} +3 )+ 96 ] \\\\
&=& 1,30595870359\cdot 124,534340039 \\\\
\mathbf{ O_{\mathrm{Zusammen}} } &\mathbf{=}& \mathbf{162,636705270\mathrm{~cm}^2}
\end{array}
$}}$$

 

heureka 22.06.2015

40 Benutzer online

avatar