quadratische gleichung

(1/2x-2)*(1/2x-2)-7*(1/2x-2)+10=0
(1/2^2*x^2 - 2*1/2*x*2 + 2^2) - (7/2*x - 7*2) +10 = 0
1/4*x^2 - 2*x +4 - 7/2*x +14 +10 = 0
1/4x^2 - 2x - 7/2x +4+14+10 = 0
1/4x^2 - 4/2x -7/2x +28 =0
1/4x^2 - 11/2x = -28____||| beide Seiten mit 4 multuplizieren
x^2 - 22x = -112_______||| die quadratische Ergänzung zum Binom : (x -11)^2 ist +11^2 - 11^2
(x^2 -22x +11^2) -11^2 = -112
(x - 11)^2 = -112 +11^2
(x - 11)^2 = -112 + 121
(x - 11)^2 = 9_________||| die quadratwurzel von 9 ist sowohl +3 als auch - 3 , daher sind ab jetzt zwei Lösungen möglich

Lösung 1
(x - 11) = sqrt( 9 )
x - 11 = 3
x = 3 + 11
x = 14

Lösung 2
(x - 11) = sqrt( 9 )
x - 11 = - 3
x = - 3 + 11
x = 8

Ich mit meinen 54 Jahren kenn mich natürlich besser mit der quadeatischen Ergänzung aus, allerdings gibt es noch die Lösung mittels der p-q-Formel

x^2 - 22x = -112
x^2 -22x +112 =0____|||| ( p= -22 , q= 112 )
x1/2 = -p/2 +- Wurzel aus ((p/2)^2 - q)

x1/2 = - (-22/2) +- sqrt ((-22/2)^2 - 112)
x1/2 = -(-11) +- sqrt((-11)^2 - 112)
x1/2 = 11 +- sqrt (121 - 112)
x1/2 = 11 +- sqrt (9)
x1/2 = 11 +- 3
x1= 14
x2 = 8

Wahrscheinlich ist die dargebotene Gleichung (1/2x-2)*(1/2x-2)-7*(1/2x-2)+10=0 falsch wiedergegeben. Wahrscheinlich soll sie lauten: ((1/2)*x-2)*((1/2)*x-2)-7*((1/2)*x-2)+10=0 . Ausmultipliziert ergäbe sich dann (1/4)*x*x -2*x +4 -(7/2)*x + 14 + 10 =0...und (nach Vereinfachung und) mit Multiplikation mit dem Faktor 4 : x*x -22*x + 112 =0. Nach der Formel für die Standardform x*x +a*x + b =0 lautet die Lösung allgemein x12=-a/2 +/-Wurzel aus ((a/2)*(a/2) - b) , und (hier) mit a=-22 und b=112 : x12=22/2 +/-Wurzel aus11*11-112) ... x12=11 +/-Wurzel aus 9....daraus folgen die beiden Lösungen: x1 =11+3 =14 und x2 = 11-3=8, wenn ich richtig gerechnet habe.
Schwieriger wird es, wenn die dargebotene Gleichung (1/2x-2)*(1/2x-2)-7*(1/2x-2)+10=0 richtig wiedergegeben wurde. Dann ergäbe sich nach Ausmultiplikation 1/(4*x*x) -2*1(/2*x)*2 + 4 - 7/(2*x) + 14 +10 =0. Wenn man mit x*x multiplizieren würde, käme man auf die Gleichung 1/4 -(11/2)*x + 28*x*x =0 und könnte sie wie bereits oben dargelegt weiterbehandeln. Mit x*x zu multiplizieren ist aber m.E. aber unzulässig, da x Null sein könnte.
Weiß jemand weiter?

((1/2)*x-2)*((1/2)*x-2)-7*((1/2)*x-2)+10 = (1/2x-2)*(1/2x-2)-7*(1/2x-2)+10
Den die Aufgabe 1/2*4 ist dieselbe wie (1/2)*4 . Man teilt die 1 durch 2 und multipliziert das ergebniss mit 4.
Anders als bei der Aufgabe 1/(2*4). wenn die Gleichung auf diese Weise verändert wird, ist sie folgendermaßen.
(1/(2x)-2)*(1/(2x)-2)-7*(1/(2x)-2)+10=0
(1/(4x^2) - 2*1/(2x)*2 + 4) - ( 7/(2x) - 14) +10 =0
1/(4x^2) - 2/x +4 - 7/(2x) +14 +10 = 0
1/(4x^2) - 2/x -7/(2x) + 28 =0 --> Brüche werden addiert oder subtrahiert in dem man Sie gleichnamig macht.
Der gemeinsame Nenner ist 4x^2
(1 - 2*(4x) - 7*(2x) + 28 *(4x^2))/(4x^2) =0 --> Ein Bruch ist null , wenn der Zähler null ist und der Nenner verscheiden von null.
Also setz man den Zähler null und der errechnete Wert eingesetz in den Nenner darf nicht null sein.
1 - 8x - 14x + 112x^2 =0
112x^2 - 22x = -1 ______|||| beide Seiten durch 112 teilen
x^2 - 22/112*x = - 1/122
x^2 - 11/56*x + 1/122 = 0____|||| ( p= -11/56 , q= 1/112 )
x1/2 = -p/2 +- Wurzel aus ((p/2)^2 - q)

x1/2 = - (- 11/112) +- sqrt ((-11 / 112)^2 - 1/112)
x1/2 = 11/112 +- sqrt ( (121 - 112)/ 112^2)
x1/2 = 11/112 +- sqrt (9/112^2)
x1/2 = 11/112 +- sqrt (3^2/112^2)
x1/2 = 11/112 +- (3/112)

x1= 11/112 + 3/112 = 14/112 = 7/56
x1 = 1/8

x2 = 11/112 - 3/112 = 8/112 = 4/56
x2 = 1/14

Nur so, die Aufgabe lässt sich durch Substitution viel schneller lösen.
((1/2)*x-2)*((1/2)*x-2)-7*((1/2)*x-2)+10=0
= ((1/2)*x-2)^2 - 7*((1/2)*x-2) + 10 = 0

Substitution: a = ((1/2)*x-2)

a^2 - 7a + 10 = 0
p-q-Formel oder Mitternachtsformel liefert:
a ₁ = 2
a ₂ = 5

Mache den Substitutionsschritt wieder rückgängig:
a ₁ = 2 = ((1/2)*x ₁-2) => x ₁ = 8
a ₂ = 5 = ((1/2)*x ₂-2) => x ₂ = 14