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Für welche \(k ∈ G\) wird der Wert des Terms \(T(k)=-3k^2-22k-32\) maximal? Bestimme den maximalen Wert des Terms

 

\(a) \quad 𝔾=ℝ \quad\quad b) \quad 𝔾=ℕ \quad\quad c) \quad 𝔾=ℤ^-\)

 

 

Habe einfach mal Scheitelpunkt und Nullstellen ausgerechnet:

 

\(S=(-3,666...;-8.333...)\)

\(k_1= -{16 \over 3}, k_2=-2\)

 15.08.2019
bearbeitet von mathismyhobby  15.08.2019
bearbeitet von mathismyhobby  16.08.2019
bearbeitet von mathismyhobby  16.08.2019
 #1
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+3

Für welche \(k\in G\) wird der Wert des Terms  \(T(k)=-3k^2-22k-32 \)  maximal? Bestimme den maximalen Wert des Terms.

 

Hallo Mathefreund!

 

Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist

\(S(u;v)\\ u =-\frac{b}{2a}=-\frac{-22}{2\cdot (-3)}=-3,6\overline 6\\ v=c-\frac{b^2}{4a}=-32-\frac{(-22)^2}{4\cdot (-3)}=8,3\overline 3\\ {\color{blue}S(-3,6\overline 6;8,3\overline 3)}\ \color{BrickRed}bitte\ nachpr\ddot ufen\)

 

Der maximale Wert des Terms \(T(k)\) ist der v-Wert (= y-Wert) im Scheitelpunkt, also

\(T(k=-3,6\overline 6)=8,3\overline3\)  .

 

Die Nullstellen

\(T(k)=-3k^2-22k-32 \)

 \(k = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ k = {22 \pm \sqrt{22^2-4\cdot (-3)\cdot (-32)} \over 2\cdot (-3)}\\ k = \frac{22\pm\sqrt{100}}{-6}\\ k =\frac{22\pm10}{-6}\)

 \(k_1=-\frac{16}{3}=-5,3\overline3\\ k_2=-2\) 

 

 \(k\in \mathbb{Q}\)

 

Das Maximum lässt sich auch errechnen, indem man die erste Ableitung der Funktion gleich Null setzt und die Unbekannte k ermittelt. (Ich weiß nicht, ob du das schon drauf hast, aber du kannst es ja mal ansehen.

 

\(T(k)=-3k^2-22k-32\\ \frac{T(k)}{dk}=-6k-22\\ -6k-22=0\\ \color{blue}k_{extr}=-\frac{22}{6}\\ T(k_{extr})=-3\cdot (-\frac{22}{6})^2-22\cdot (-\frac{22}{6})-32=\frac{25}{3}\\ \color{blue}T(k_{extr})=8,3\overline3\)

Das ist die Stelle eines Extremums (Man weiß noch nicht ob Maximum oder Minimum.)

\(T(k_{extr})>0\)

Es gibt zwei Stellen mit dem Funktionswert Null, die Nullstellen.

Infolge dessen handelt es sich bei einer Parabel um ein Maximum.

laugh  !

 16.08.2019
bearbeitet von asinus  16.08.2019
bearbeitet von asinus  16.08.2019
 #2
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+1

Danke, habe es editiert, abgesehen von dem einten Rechenfehler konnte ich es ja auch so weit lösen.

 

Aber es sind 3 Aufgaben a, b und c. Das verstehe ich nicht.

mathismyhobby  16.08.2019
bearbeitet von mathismyhobby  16.08.2019
bearbeitet von mathismyhobby  16.08.2019
 #4
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+2

Für welche \(k\in G\) wird der Wert des Terms \(T(k)=-3k^2-22k-32 \) maximal? Bestimme den maximalen Wert des Terms.

\(a) \quad 𝔾=ℝ \quad\quad b) \quad 𝔾=ℕ \quad\quad c) \quad 𝔾=ℤ^-\)

 

Die Aufgabe wurde mit den zwei Sätzen am Anfang beschrieben und ist mit meiner Antwort gelöst.

Die Antwort auf die Forderung " Bestimme den maximalen Wert des Terms." ist in deiner Antwort noch nicht enthalten.

In der Zeile

\(a) \quad 𝔾=ℝ \quad\quad b) \quad 𝔾=ℕ \quad\quad c) \quad 𝔾=ℤ^-\)

kann ich keine weitere Aufgabenstellung erkennen. Die Aufstellung macht für  mich keinen Sinn. Nach einem Gesetz der Mengenalgebra wird nur dargestellt,

dass  \(\mathbb{G}=\mathbb{R}=\mathbb{N}=\mathbb{Z}^-\) ist.

Die Zahlenmengen \(​ ​\)\(\mathbb{G}\ und\ \mathbb{Z}^-\) sind mir nicht bekannt.

\(\mathbb{Z}^-\) könnte die Menge der negativen ganzen Zahlen sein?

laugh  !

asinus  16.08.2019
bearbeitet von asinus  16.08.2019
 #3
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Für welche \(m∈𝔾\) wird der Wert des Terms \(T(m)=5m^2-62m\) minimal? Bestimme den minimalen Wert des Terms

 

\(a) \quad 𝔾=ℝ \quad\quad b) \quad 𝔾=ℕ \quad\quad c) \quad 𝔾=ℤ^-\)

 

 

Lösung für a)

 

Scheitelpunkt

\(S=({62 \over 10}; 0-{(-62)^2\over 20}) \\S=(6.2;-192.2)\)

 

Nullstellen

\(a=5\quad b=-62 \quad c=0 \\k_{1,2} ={12.4};0 \)

 

Gem. Lösungsbuch wäre nur der Scheitelpunkt gefragt. Wie weiter für b) und c) ?

 16.08.2019
 #5
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Bestimme auch den minimalen Wert des Terms!

Die Gleichsetzung der Zahlenmengen hat für mich keinen Sinn.

Die unabhänige Variable heißt m. \(m_{1,2}= \ … \)

laugh  !

asinus  16.08.2019
bearbeitet von asinus  16.08.2019
 #6
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 17.08.2019
bearbeitet von Omi67  17.08.2019
 #7
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Danke Euch smiley

 17.08.2019

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