Quadratische Funktionen

Für welche $k\in G$ wird der Wert des Terms  $T(k)=-3k^2-22k-32$  maximal? Bestimme den maximalen Wert des Terms.

Hallo Mathefreund!

Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist

$S(u;v)\\ u =-\frac{b}{2a}=-\frac{-22}{2\cdot (-3)}=-3,6\overline 6\\ v=c-\frac{b^2}{4a}=-32-\frac{(-22)^2}{4\cdot (-3)}=8,3\overline 3\\ {\color{blue}S(-3,6\overline 6;8,3\overline 3)}\ \color{BrickRed}bitte\ nachpr\ddot ufen$

Der maximale Wert des Terms $T(k)$ ist der v-Wert (= y-Wert) im Scheitelpunkt, also

$T(k=-3,6\overline 6)=8,3\overline3$  .

Die Nullstellen

$T(k)=-3k^2-22k-32$

 $k = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ k = {22 \pm \sqrt{22^2-4\cdot (-3)\cdot (-32)} \over 2\cdot (-3)}\\ k = \frac{22\pm\sqrt{100}}{-6}\\ k =\frac{22\pm10}{-6}$

 $k_1=-\frac{16}{3}=-5,3\overline3\\ k_2=-2$ 

 $k\in \mathbb{Q}$

Das Maximum lässt sich auch errechnen, indem man die erste Ableitung der Funktion gleich Null setzt und die Unbekannte k ermittelt. (Ich weiß nicht, ob du das schon drauf hast, aber du kannst es ja mal ansehen.

$T(k)=-3k^2-22k-32\\ \frac{T(k)}{dk}=-6k-22\\ -6k-22=0\\ \color{blue}k_{extr}=-\frac{22}{6}\\ T(k_{extr})=-3\cdot (-\frac{22}{6})^2-22\cdot (-\frac{22}{6})-32=\frac{25}{3}\\ \color{blue}T(k_{extr})=8,3\overline3$

Das ist die Stelle eines Extremums (Man weiß noch nicht ob Maximum oder Minimum.)

$T(k_{extr})>0$

Es gibt zwei Stellen mit dem Funktionswert Null, die Nullstellen.

Infolge dessen handelt es sich bei einer Parabel um ein Maximum.

  !

Für welche $m∈𝔾$ wird der Wert des Terms $T(m)=5m^2-62m$ minimal? Bestimme den minimalen Wert des Terms

$a) \quad 𝔾=ℝ \quad\quad b) \quad 𝔾=ℕ \quad\quad c) \quad 𝔾=ℤ^-$

Lösung für a)

Scheitelpunkt

$S=({62 \over 10}; 0-{(-62)^2\over 20}) \\S=(6.2;-192.2)$

Nullstellen

$a=5\quad b=-62 \quad c=0 \\k_{1,2} ={12.4};0$

Gem. Lösungsbuch wäre nur der Scheitelpunkt gefragt. Wie weiter für b) und c) ?

Da sich keine Bilder hochladen lassen, greife ich auf pic-load zurück.

https://free-picload.com/images/2019/08/17/216.jpg

https://free-picload.com/images/2019/08/17/217.jpg

 Einfach anklicken.

PS.: https://studylibde.com/doc/11627544/mathematische-zeichen-und-symbole

Danke Euch