+521 Bestimme das Monotonieverhalten der nachfolgenden Funktionen:
a) \(f(x)=x^3−3x^2−24x+6\)
Erste Ableitung bilden
\(f'(x)=3x^2−6x−24\)
Nullstellen berechnen
\(a=3, b=-6, c=-24 \\ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \\ x= 4;-2\)
Zweite Ableitung bilden
\(f''(x)=6x−6\)
Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen
\(f''(4)=18 \\ f''(-2)=-18\)
+3976 Du bist ja schon fast fertig:
Das Einsetzen der Nullstellen der Ableitungen liefert die Art der Extrema: Bei x1=4 ist ein Tiefpunkt (da f''(4)>0), bei x2=-2 ein Hochpunkt.
Wenn nach dem Monotonieverhalten gefragt ist, ist normalerweise auch eine Vorzeichentabelle gefordert. Mit der kann man auch die Art der Extrema bestimmen, daher ist es dann sogar überflüssig, die zweite Ableitung zu besitmmen.
Die Vorzeichentabelle der Ableitung sieht hier dann so aus:
| x | x < -2 | x = -2 | -2 < x < 4 | x = 4 | 4 < x |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
D.h. die Funktion ist streng monoton steigend in den Intervallen ]inf, -2] und [4, inf[ und streng monoton fallend im Intervall ]-2, 4[.
Damit folgt auch, dass bei x1=4 ein Tiefpunkt und bei x2=-2 ein Hochpunkt ist.
Abschließend können wir noch die y-Koordinate der Extrema bestimmen:
f(-2) = 34 & f(4) = -74
Wir haben also den Hochpunkt der Funktion bei H(-2|34) und den Tiefpunkt bei T(4|74).
+521 Bestimme die Nullstellen
a)
\(f(x)={1 \over 10}(x+6)(x−2)(x−4) \\0={1 \over 10}(x+6)(x−2)(x−4) \quad | :{1 \over 10} \\0=(x+6)(x−2)(x−4) \\x_1=-6;x_2=2;x_3=4\)
b)
\(f(x)=(e^x+1)(x^4−4x^2)\)
Wie geht man in solchen Fällen vor? 
