Es sei \( X \) ein metrischer Raum mit Metrik \( d \). Für zwei Mengen \( A, B \subseteq X \) bezeichne
\(
\operatorname{dist}(A, B)=\inf \{d(a, b) \mid a \in A, b \in B\}
\)
die Distanz zwischen \( A \) und \( B \).
(a) Es seien \( A \subseteq X \) abgeschlossen und \( B \subset X \) kompakt mit \( A \cap B=\emptyset \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{dist}(A, B)>0 \)
(b) Geben Sie im Fall \( X=\mathbb{R}^{2} \) zwei abgeschlossene Mengen \( A, B \subseteq \mathbb{R}^{2} \) an, für die \( A \cap B=\emptyset \) und \( \operatorname{dist}(A . B)=0 \) gelten.
