Gleichung lösen

Wie lautet der Lösungsweg für die Gleichung 3^(2*x)+3^x=90 ?

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
3^{(2\cdot x)}+3^x &=& 90 \\
3^{(x\cdot 2)}+3^x &=& 90 \\
(3^x)^2 +3^x &=& 90 \\
\end{array}
$}}$$

Wir setzen $$u = 3^x$$ und erhalten $$u^2 + u = 90$$

Jetzt lösen wir nach u auf:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
u^2 + u &=& 90 \\
u^2 + u - 90 &=& 0 \\
u_{1,2} &=& -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+90} \\
u_{1,2} &=& -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1+4\cdot 90}{4}} \\
u_{1,2} &=& -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{361}{4}} \\
u_{1,2} &=& -\frac{1}{2}\pm \frac{19}{2} \\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl|rcl}
u_1 &=& -\frac{1}{2} +\frac{19}{2} \quad &
\quad u_2 &=& -\frac{1}{2} - \frac{19}{2}\\
&&&\\
u_1 &=& \frac{18}{2} \quad & \quad u_2 &=& -\frac{20}{2}\\
&&&\\
u_1 &=& 9 \quad & \quad u_2 &=& -10\\
&&&\\
u_1 &=& 3^{x_1} \quad & \quad u_2 &=& 3^{x_2}\\
&&&\\
x_1\cdot \ln{(3)} &=& \ln{(u_1)} \quad & \quad x_2\cdot \ln{(3)} &=& \ln{(u_2)} \\
&&&\\
x_1&=& \dfrac{\ln{(u_1)} }{ \ln{(3)} } \quad & \quad x_2&=& \dfrac{\ln{(u_2)} }{ \ln{(3)} } \\
&&&\\
x_1&=& \dfrac{\ln{(9)} }{ \ln{(3)} } \quad & \quad x_2&=& \dfrac{\ln{(-10)} }{ \ln{(3)} } $ keine L\"osung$ \\
&&&\\
x_1&=& \dfrac{\ln{(3^2)} }{ \ln{(3)} } \quad & \\
&&&\\
x_1&=& \dfrac{2\ln{(3)} }{ \ln{(3)} } \quad & \\
&&&\\
x_1&=& 2 &
\end{array}
$}}$$