Gegeben sei die Abbildung

f ist nicht stetig, denn die Folge der Punkte (1/n ; 1/n) (wobei n die natürlichen Zahlen durchläuft) konvergiert bei steigendem n gegen den Punkt (0,0), aber die Folge der Funktionswerte ist die Folge def. durch $\frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}}{(\frac{1}{n})^4 + (\frac{1}{n})^4} = \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^4}} = \frac{n^2}{2}$, die offenbar nicht gegen f(0,0)=0 konvergiert.

g hingegen ist stetig, denn $lim_{y \rightarrow 0} g(y) = lim_{y \rightarrow 0} f(x,y) = lim_{y \rightarrow 0} \frac{xy}{x^4+y^4} = \frac{0}{x^4} = 0 = f(0,0) = g(0)$  (und stetig an jeder Stelle ungleich 0 weil rationale Funktion ohne Definitionslücken außer 0). Für h das gleiche mit "x gegen 0" im Grenzwert.