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2. Gegeben sei die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^{4}+y^{4}}, & (x, y) \neq 0 \\ 0, & (x, y)=0\end{array}\right. \)
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(a) \( f \) ist unstetig.
(b) Für jedes \( x \in \mathbb{R} \) ist die Abbildung \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(y)=f(x, y) \)
stetig und für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ist die Abbildung \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad h(x)=f(x, y) \)
stetig.

 29.04.2021
 #1
avatar+2042 
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f ist nicht stetig, denn die Folge der Punkte (1/n ; 1/n) (wobei n die natürlichen Zahlen durchläuft) konvergiert bei steigendem n gegen den Punkt (0,0), aber die Folge der Funktionswerte ist die Folge def. durch \(\frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}}{(\frac{1}{n})^4 + (\frac{1}{n})^4} = \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^4}} = \frac{n^2}{2}\), die offenbar nicht gegen f(0,0)=0 konvergiert.

 

g hingegen ist stetig, denn \(lim_{y \rightarrow 0} g(y) = lim_{y \rightarrow 0} f(x,y) = lim_{y \rightarrow 0} \frac{xy}{x^4+y^4} = \frac{0}{x^4} = 0 = f(0,0) = g(0)\)  (und stetig an jeder Stelle ungleich 0 weil rationale Funktion ohne Definitionslücken außer 0). Für h das gleiche mit "x gegen 0" im Grenzwert.

 29.04.2021

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