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avatar+26 

Hey habe ein paar verständnisprobleme mit folgender Aufgabe:

 

 

 

Seien x, y die Kantenlängen eines beliebigen Rechtecks. Geben Sie Formeln für den Umfang u und den Flächeninhalt A des Rechtecks an, und ersetzen Sie y durch einen Ausdruck mit u und x, so dass Sie A als Funktion von x darstellen können. Betrachten Sie im Folgenden den Definitionsbereich I := [0,\( (u)\over2 \)] von A.

 

Ansatz:

für x,y verschiedene cm angaben nehmen

u = 2 * a + 2 * b

a = a *b

 

Soll man jetzt u mit y ersetzen und a mit x und dann eine funktion kreieren? stehe ein bisschen auf den schlauch :D

 

LG

Noob420

 30.05.2022
 #1
avatar+14243 
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Hallo noob420,

 

die Seite a sei x. Dann gilt:

\(U=2(x+b)\\ b=\frac{U}{2}-x\\ A=bx\\ \color{blue}A=f(x)=(\frac{U}{2}-x)x\)

Das wäre eine Funktion für die Fläche A bei gegebenem Umfang U für die Seitenlänge x.

War sowas gemeint?

laugh  !

 01.06.2022
bearbeitet von asinus  01.06.2022
bearbeitet von asinus  01.06.2022
bearbeitet von asinus  03.06.2022
 #2
avatar+26 
+1

Hey asinus!

 

Genau sowas war gemeint danke! Ich finde die aufgabe sehr unverständlich geschrieben. Als weitere Aufgabe muss ich jetzt alle lokalen Extrema und Extremalstellen von A bestimmen.Bis jetzt habe ich die erste und zweite Ableitung von A gebildet. Nur tue ich mich jetzt schwer die Nullstellen von f'(x)=0 auszurechnen da ja noch ein zweiter Parameter U in der Funktion enthalten ist.Unten habe ich mal die Rechnung der Ableitungen aufgeschrieben.

 

LG

 

 

\(f(x) = ({U\over 2}-x)x \)

\(f'(x) = {d\over dx}(({U\over 2}-x)x)\)

\(f'(x) = {d\over dx}({Ux\over 2}-x^2) |{d\over dx}(f+g)={d\over dx}(f)+{d\over dx}(g)\)

\(f'(x) = {d\over dx}({Ux\over 2})- {d\over dx}(x^2) \)

\(f'(x) ={U\over 2}-2x \)

 

\(f'(x) ={U\over 2}-2x \)

\(f''(x) ={d\over dx}({U\over 2}-2x) |{d\over dx}(f+g)={d\over dx}(f)+{d\over dx}(g)\)

\(f''(x) = {d\over dx}({U\over 2})+{d\over dx}(-2x) \)

\(f''(x) = 0-2\)

\(f''(x) = -2\)

 02.06.2022
 #3
avatar+14243 
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Hey noob!

 

Hier die Schritte zum Berechnen der lokalen Extrema:

1. Berechne die Ableitungsfunktion f′(x).

2. Berechne die zweite Ableitungsfunktion f′′(x).

3. Finde alle Nullstellen \(x_0\) der Ableitungsfunktion: Löse dazu die Gleichung \(f'(x_0)=0.\)

4. Untersuche Krümmung der Funktion an diesen Nullstellen:

  \(\ Ist\ f^"(x_0)<0 , dann\ ist\ bei\ x_0 \ ein\ Hochpunkt.\\ \ Ist\ f^"(x_0)>0 , dann\ ist\ bei\ x_0 \ ein\ Tiefpunkt.\\ \ Ist\ f^"(x_0)=0 , dann\ ist\ bei\ x_0\ kein\ Extrempunkt.\)

 

\(U=2(x+b)\\ b=\frac{U}{2}-x\\ A=bx\\ A=f(x)=(\frac{U}{2}-x)x\\ \color{blue}f(x)=-x^2+\frac{U}{2}x\)

\(\color{blue}f'(x)=-2x+\frac{U}{2}=0\\ -2x=-\frac{U}{2}\\ \color{blue}x=\frac{U}{4}\\ \color{blue}f^"=-2\)

Setze den Wert des gegebenen Umfangs U ein.

 \(f^"(x)=-2\ ist<0.\) 

Der Wert der Funktion f(x) bei \(x_{max}=\frac{U}{4}\) ist ein lokales Maximum.

 

Setze mal für U verschiedene Werte ein. Der Wert x aus f'(x)= - 2x + U/2 = 0 ist immer die Seite eines Quadrats.

Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.

laugh  !

 03.06.2022

16 Benutzer online

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