+26 Hey habe ein paar verständnisprobleme mit folgender Aufgabe:
Seien x, y die Kantenlängen eines beliebigen Rechtecks. Geben Sie Formeln für den Umfang u und den Flächeninhalt A des Rechtecks an, und ersetzen Sie y durch einen Ausdruck mit u und x, so dass Sie A als Funktion von x darstellen können. Betrachten Sie im Folgenden den Definitionsbereich I := [0,\( (u)\over2 \)] von A.
Ansatz:
für x,y verschiedene cm angaben nehmen
u = 2 * a + 2 * b
a = a *b
Soll man jetzt u mit y ersetzen und a mit x und dann eine funktion kreieren? stehe ein bisschen auf den schlauch :D
LG
Noob420
+15000 Hallo noob420,
die Seite a sei x. Dann gilt:
\(U=2(x+b)\\ b=\frac{U}{2}-x\\ A=bx\\ \color{blue}A=f(x)=(\frac{U}{2}-x)x\)
Das wäre eine Funktion für die Fläche A bei gegebenem Umfang U für die Seitenlänge x.
War sowas gemeint?
!
+26 Hey asinus!
Genau sowas war gemeint danke! Ich finde die aufgabe sehr unverständlich geschrieben. Als weitere Aufgabe muss ich jetzt alle lokalen Extrema und Extremalstellen von A bestimmen.Bis jetzt habe ich die erste und zweite Ableitung von A gebildet. Nur tue ich mich jetzt schwer die Nullstellen von f'(x)=0 auszurechnen da ja noch ein zweiter Parameter U in der Funktion enthalten ist.Unten habe ich mal die Rechnung der Ableitungen aufgeschrieben.
LG
\(f(x) = ({U\over 2}-x)x \)
↔ \(f'(x) = {d\over dx}(({U\over 2}-x)x)\)
↔ \(f'(x) = {d\over dx}({Ux\over 2}-x^2) |{d\over dx}(f+g)={d\over dx}(f)+{d\over dx}(g)\)
↔ \(f'(x) = {d\over dx}({Ux\over 2})- {d\over dx}(x^2) \)
↔ \(f'(x) ={U\over 2}-2x \)
\(f'(x) ={U\over 2}-2x \)
↔\(f''(x) ={d\over dx}({U\over 2}-2x) |{d\over dx}(f+g)={d\over dx}(f)+{d\over dx}(g)\)
↔\(f''(x) = {d\over dx}({U\over 2})+{d\over dx}(-2x) \)
↔\(f''(x) = 0-2\)
↔\(f''(x) = -2\)
+15000 Hey noob!
Hier die Schritte zum Berechnen der lokalen Extrema:
1. Berechne die Ableitungsfunktion f′(x).
2. Berechne die zweite Ableitungsfunktion f′′(x).
3. Finde alle Nullstellen \(x_0\) der Ableitungsfunktion: Löse dazu die Gleichung \(f'(x_0)=0.\)
4. Untersuche Krümmung der Funktion an diesen Nullstellen:
\(\ Ist\ f^"(x_0)<0 , dann\ ist\ bei\ x_0 \ ein\ Hochpunkt.\\ \ Ist\ f^"(x_0)>0 , dann\ ist\ bei\ x_0 \ ein\ Tiefpunkt.\\ \ Ist\ f^"(x_0)=0 , dann\ ist\ bei\ x_0\ kein\ Extrempunkt.\)
\(U=2(x+b)\\ b=\frac{U}{2}-x\\ A=bx\\ A=f(x)=(\frac{U}{2}-x)x\\ \color{blue}f(x)=-x^2+\frac{U}{2}x\)
\(\color{blue}f'(x)=-2x+\frac{U}{2}=0\\ -2x=-\frac{U}{2}\\ \color{blue}x=\frac{U}{4}\\ \color{blue}f^"=-2\)
Setze den Wert des gegebenen Umfangs U ein.
\(f^"(x)=-2\ ist<0.\)
Der Wert der Funktion f(x) bei \(x_{max}=\frac{U}{4}\) ist ein lokales Maximum.
Setze mal für U verschiedene Werte ein. Der Wert x aus f'(x)= - 2x + U/2 = 0 ist immer die Seite eines Quadrats.
Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.
!
