Extremrechnungen, oben offener Zyliner

Kennst Du Zylinderkoordinaten?
Damit dürfte die Rechnung am einfachsten gehen.

Hier muss offensichtlich etwas optimiert werden ("Maximum finden").
Welche Gleichung entspricht dem, was maximiert werden muss?

Es gibt offenbar eine Randbedingung.
Welche ist das?

Hallo nochmal.
Hatte zu kompliziert gedacht.
Die kannst die Randbedingung nach einer Variable auflösen und in die Gleichung einsetzen.
Da kommt dann eine funktion 3. Grades raus.
Diese leitest Du ab.
Setzt die Ableitung =0.
Das gibt dir schonmal eine Variable.
Die kannst Du dann wieder in eine Ausgangsgleichung einsetzen.

Rechnen solltest Du selber.
Übe aber auch Sachverhalte in Mathematik auszudrücken.

Natalie:

Eine oben offene Regentonne (Zyliner ohne Deckel) soll möglichst viel Wasser fassen.

Das ist Deine sog. "Hauptbedingung", das soll maximiert werden. - Überlegung: Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? Damit hast Du dann Deine I. Gleichung.

Natalie:

Es stehen 10m² Blech zur Verfügung. Welche Maße sind zu wählen? Hilfe

Die sog. "Nebenbedingung". 10 m² Blech, das ist soz. die Oberfläche Deines oben offenen Zylinders. Überlegung: Wie lautet die Oberflächenformel für einen oben offenen Zylinder?

Wenn Du das bis hierhin gelöst hast, kannst Du Dich ja wieder melden (sofern Du die Aufgabe nicht bereits vollständig gelöst hast).

Cheers

danke schon mal fürs Antworten!

also die Formel fürs Volumen bekomm ich hin, die für die Oberfläche auch. dann setzt ich ja mein Material (Blech) ein, also die 10² = die Formel der Oberfläche. Das lös ich nach h auf und setz das in die Formel fürs Volumen ein.

Soweit komm ich, aber dann dann harkts
Hier in dem Fall sollte ja dann da :
5-r²*Pi
V= r²*Pi* --------- (← Das soll einen Bruchstrich darstellen )
2*r*Pi

Sooo, dann weiß ich einfach nicht mehr weiter :/

Oh, die gleichung ist nicht gut erkennbar.. :/

dann schreib ich die mal so:

V=r²*Pi*((5-r²*Pi):(2*r*Pi))

1. Gleichung ( Die Blechfläche des nach oben offenen Zylinders )
Zylinderboden ( Kreisfläche ) + Zylindermantelfläche ( Kreisumfang * Höhe )
r² * pi + 2 * r * pi * h = 10 m²
2 * r * pi *h = 10 m² - r² * pi
h = ( 10 m² / ( 2 * r * pi )) - ( r² * pi ) / ( 2 * r * pi )
h = 5 m² / ( r * pi ) - r / 2

2. Gleichung ( Volumenberechnung des Zylinders )
V = r² * pi * h
Nun den wert für h aus der 1. Gleichung einsetzen und V durch y ersetzen
y = r² * pi * ( ( 5 m² / ( r * pi ) - ( r / 2 ))
y = ( 5 m² * r² * pi ) / ( r * pi ) - ( r * r² * pi / 2 )
y = ( 5 m² * r ) - ( r³ * pi / 2 )
nun muss man die Gleichung nach r ableiten und Null setzen.
siehe dazu auch die Ableitungsregeln : http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitungsregel.html
y ' = 5 m² - ( ( 3 / 2 ) * r² * pi ) = 0
( 3/2 ) * r² * pi = 5 m²
r² = (5 m² / pi ) * ( 2/3)
da nur ein positiver Radius sinn macht, enfällt das negative Ergebnis vom Wurzelziehen.
r = 1.0300645387285055 mathematisch gerundet r = 1,03 m
Den Wert für r eingesetzt in die Gleichung
h = 5 m² / ( r * pi ) - r / 2
h = 5m² / ( 1.0300645m * pi) - 1,0300645m / 2
h = 1.0300646161855188 mathematisch gerundet h = 1,03 m
also ist bei dem maximalen Volumen die Höhe des Zylinders so groß wie der Radius.

Vielen vielen vielen Dank!!!!!! Eine sehr gute Beschreibung und sehr detailliert jetzt hab ich es verstanden! Super