+107 Die rekursiv definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) sei gegeben durch
\(
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{3+5 a_{n}}{20} \quad(n \in \mathbb{N}) .
\)
1. Zeigen Sie, dass \( a_{n}>\frac{1}{5} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist.
2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) streng monoton fallend ist.
3. Folgern Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
+3976 1. können wir per Induktion zeigen:
Für a1 stimmt die Aussage. Wir nehmen an, dass an >1/5 ist, und folgern, dass an+1 ebenfalls größer als 1/5 ist:
Da an größer als 1/5 ist, ist 5an >1. Daher ist 3+5an > 4 - und 4/20=1/5.
2.
\(a_n > \frac{3+5a_n}{20} \ \ |\cdot 20 \\ 20a_n > 3+5a_n \ \ |-5a_n \\ 15a_n > 3\)
Durch Äquivalenzumformungen konnten wir die Aussage, jedes Folgenglied größer ist als das folgende, in eine Aussage umformen, die wahr ist (denn an > 1/5). Damit sind wir fertig.
3. Wir sehen in a, dass 1/5 nicht nur irgendeine untere Schranke ist, sondern die größte, denn die Ungleichungen sind alle gerade so gültig. (Kann man sich gut nochmal klar machen, indem man 1/5 durch 1/5-x ersetzt (positives x) und dann sieht, dass die Ungleichungen nicht mehr sicher stimmen.)
Eine streng monoton fallende Folge mit unterer Schranke konvergiert, und zwar gegen die größte untere Schranke. Das ist hier 1/5, das ist also unser Grenzwert.
