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avatar+55 

Es sei \( F:] 0, \infty[\times]-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}, F(r, \varphi)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) \), die
Polarkoordinatenabbildung.
(a)  Zeigen Sie, dass \( F \) stetig ist.
(b)  Die Abbildung \( F \) ist bijektiv (das wurde in der Analysis I gezeigt). Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung nicht stetig ist.

 04.05.2021
 #1
avatar+2591 
+2

F ist stetig, weil jede Komponentenabbildung (also die "Einzelteile" der Funktion) als Komposition stetiger Funktionen stetig ist.

 

Die Umkehrabbildung dazu ist \(F^{-1}(x,y) = (\sqrt{x^2+y^2}; \phi(x,y) ) \), wobei \(\phi(x,y)= \{\)  \(arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } ) \ \ \ für \ y \geq 0 \\ -arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } ) \ \ für \ y<0\)

 

Sie ist nicht stetig, weil die Komponentenabbildung \(\phi\) nicht stetig ist: Beispielsweise konvergiert die Punktfolge gegeben durch Pn(-1|-1/n) gegen den Punkt P(-1|0), aber es ist \(lim_{n \rightarrow \infty} \phi(P_n) = -arccos(-1) = -\pi \neq \pi = arccos(-1) =\phi(P) = \phi(lim_{n \rightarrow \infty}P_N)\).

 04.05.2021
 #2
avatar+2591 
+2

Die Funktion Phi soll halt abschnittsweise definiert sein, sieht jetzt irgendwie weniger gut aus als ich mir das wünschen würde - aber man sieht hoffentlich was gemeint ist :D

Probolobo  04.05.2021
 #3
avatar+55 
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ich danke Ihnensmiley

Said.45  05.05.2021
 #5
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kann man hier nicht gut mit arctan arbeiten, weil r  durch die Jacobimatrix > 0 ist und somit immer arctan(x/y) gilt?

Gast 09.05.2021
 #4
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kann man hier nicht gut mit arctan arbeiten, weil r  durch die Jacobimatrix > 0 ist und somit immer arctan(x/y) gilt?

 09.05.2021
bearbeitet von Gast  09.05.2021

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