+77 Es sei \( F:] 0, \infty[\times]-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}, F(r, \varphi)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) \), die
Polarkoordinatenabbildung.
(a) Zeigen Sie, dass \( F \) stetig ist.
(b) Die Abbildung \( F \) ist bijektiv (das wurde in der Analysis I gezeigt). Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung nicht stetig ist.
+3976 F ist stetig, weil jede Komponentenabbildung (also die "Einzelteile" der Funktion) als Komposition stetiger Funktionen stetig ist.
Die Umkehrabbildung dazu ist \(F^{-1}(x,y) = (\sqrt{x^2+y^2}; \phi(x,y) ) \), wobei \(\phi(x,y)= \{\) \(arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } ) \ \ \ für \ y \geq 0 \\ -arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } ) \ \ für \ y<0\)
Sie ist nicht stetig, weil die Komponentenabbildung \(\phi\) nicht stetig ist: Beispielsweise konvergiert die Punktfolge gegeben durch Pn(-1|-1/n) gegen den Punkt P(-1|0), aber es ist \(lim_{n \rightarrow \infty} \phi(P_n) = -arccos(-1) = -\pi \neq \pi = arccos(-1) =\phi(P) = \phi(lim_{n \rightarrow \infty}P_N)\).
