+107 Es sei F:]0,∞[×]−π,π]→R2∖{(0,0)},F(r,φ)=(rcos(φ),rsin(φ)), die
Polarkoordinatenabbildung.
(a) Zeigen Sie, dass F stetig ist.
(b) Die Abbildung F ist bijektiv (das wurde in der Analysis I gezeigt). Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung nicht stetig ist.
+3976 F ist stetig, weil jede Komponentenabbildung (also die "Einzelteile" der Funktion) als Komposition stetiger Funktionen stetig ist.
Die Umkehrabbildung dazu ist F−1(x,y)=(√x2+y2;ϕ(x,y)), wobei ϕ(x,y)={ arccos(x√x2+y2) für y≥0−arccos(x√x2+y2) für y<0
Sie ist nicht stetig, weil die Komponentenabbildung ϕ nicht stetig ist: Beispielsweise konvergiert die Punktfolge gegeben durch Pn(-1|-1/n) gegen den Punkt P(-1|0), aber es ist limn→∞ϕ(Pn)=−arccos(−1)=−π≠π=arccos(−1)=ϕ(P)=ϕ(limn→∞PN).
