Bestimme k und die Lösungen der Gleichung

Bestimme $k$ und die Lösungen der Gleichung $25x^2+kx-19=0$ so, dass sich die beiden Lösungen um 4 unterscheiden.

Hallo Mathefan!

$\color{BrickRed}25x^2+kx-19=0\\ x^2+\frac{k}{25}x-\frac{19}{25}=0$

$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\x=-\frac{k}{50}\pm\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}$

$-\frac{k}{50}+\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}-4=-\frac{k}{50}-\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}\\ \sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}-4=-\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}\\$

Substitution

$\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}=u$

u - 4 = - u

2u = 4

u = 2

Resubstitution

$u=\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}$

$\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}=2\\ \frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}=2^2\\ k^2=2500 \cdot (4-\frac{19}{25})\\ k=\sqrt{8100}\\ \color{blue}k=\pm90$

$25x^2+kx-19=0\\ \color{blue}k=90\\ \color{blue}25x^2+90x-19=0$

$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

$x = {-90 \pm \sqrt{8100+4\cdot 25\cdot 19} \over 2\cdot 25}\\ x = {-90 \pm \sqrt{10000} \over 50}\\ x = {-90 \pm 100 \over 50}\\ \color{blue}x_1=0,2\\ \color{blue}x_2=-3,8$

$\color{blue}x_1-x_2=4$

$25x^2+kx-19=0\\ \color{blue}k=-90\\ \color{blue}25x^2-90x-19=0$

$x = {90 \pm \sqrt{8100+4\cdot 25\cdot 19} \over 2\cdot 25}\\ x = {90 \pm \sqrt{10000} \over 50}\\ x== {90 \pm 100 \over 50}\\ \color{blue}x_1=3,8\\ \color{blue}x_2=-0,2$

$\color{blue}x_1-x_2=4$

Bestimme k

Wenn man di dazugehörigen Parabeln zeichnet, sieht man ganz deutlich den Unterschied von 4 Einheiten.

Über ein Dankeschön würde ich mich freuen.