Bestimme den Betrag der Summenkraft FΣ und den Winkel zwischen FΣ und der x-Achse

Ich habe mal alles maßstabsgerecht gezeichnet und nachgemessen. Das geht mit meinem Zeichenprogramm. Meine Gesamtkraft stimmt mit dem Ergebnis von asinus überein, obwohl ich einen anderen Weg gegangen bin.

Bestimme den Betrag der Summenkraft FΣ und den Winkel zwischen FΣ und der x-Achse.

Hallo Mathefan!

$Zun\ddot achst\ F_{123}:$

F1 wird nach rechts vor F2 verschoben, F3 wird an die Spitze des verschobenen F1 parallelverschoben.

Die Strecke vom Ursprung zur Spitze des verschobenen F3 ist die Resultierende F123.

Es entstand so ein Dreieck aus der Strecke |F2+F1|, |F3| und der Resultierenden |F123|. Der Winkel zwischen F1 und F3 ist $\alpha = 40°$. Der Winkel zwischen F123 und der Abszissenachse sei $\beta$. Mach dir eine Skizze.

Nach dem Kosinussatz ist

$F_{123}^2=(F_1+F_2)^2+F_3^2-2\cdot (F_1+F_2)\cdot F_3\cdot cos\ \alpha \\ F_{123}^2=(50N+60N)^2+40^2N^2-2\cdot (50N+60N)\cdot 40N\cdot cos\ 40° \\ F_{123 }^2=6958,8089N^2\\ \color{blue}F_{123}=83,419N$

Nach dem Sinussatz ist

$\large \frac{sin\ \beta}{F_3}=\frac{sin\ \alpha}{F_{123}}\\ \large sin\ \beta =\frac{F_3\cdot sin\ \alpha}{F_{123}}\\ \large sin\ \beta =\frac{40N\cdot sin\ 40°}{83,419N}=0,30822\\ \large \color{blue}\beta =17,952°$

$Nun\ zu\ F_{ \sum}$.

Die Wirkunglinie von F4 wird parallelverschoben durch die Spitze von F123. Die Wirkungslinie von F123 wird parallelverschoben durch die Spitze von F4. $F_\sum$ ist die Strecke zwischen dem Ursprung und dem Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien. Der Winkel zwischen F123 und dem verschobenen F4 sei $\gamma.\ \gamma=30°-\beta=12,048°$

Der Winkel zwischen F123 und $F_\sum\ sei\ \delta$.

Es entstand so ein Dreieck aus F123, F4 und $F_\sum$. Mach dir eine Skizze.

Nach dem Kosinussatz ist

$F_\sum^2=F_{123}^2+F_4^2-2\cdot F_{123}\cdot F_4\cdot cos\ \gamma\\ F_\sum^2=6958,8089N^2+30^2N^2-2\cdot 83,419N\cdot 30N\cdot cos\ 12,048°\\ F_\sum ^2=2963,9167N^2\\ \color{blue}F_\sum =54,442N$

Nach dem Sinussatz ist

$\large \frac{sin\ \delta}{F_4}=\frac{sin\ \gamma}{F_\sum}\\ \large sin\ \delta =\frac{F_4\cdot sin\ \gamma}{F_\sum}\\ \large sin\ \delta =\frac{30N\cdot sin\ 12,048°}{54,442N}=0,11502\\ \large \color{blue} \delta =6,6048°$

$\beta - \delta=17,952°-6,6048°\\ \color{blue}\beta - \delta=11,347°$

Das ist der Winkel von $F_\sum$ zur x-Achse.

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Bestimme den Betrag der Summenkraft FΣ und den Winkel zwischen FΣ und der x-Achse

$\begin{array}{|rcll|} \hline \vec{F_1} &=& \dbinom{50N}{0} \\ \vec{F_2} &=& \dbinom{60N}{0} \\ \vec{F_3} &=& \dbinom{-40N\cos(40^\circ)}{40N\sin(40^\circ)} \\ \vec{F_4} &=& \dbinom{-30N\cos(30^\circ)}{-30N\sin(30^\circ)} \\ \mathbf{\vec{F_{\Sigma}}} &=& \mathbf{\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}} \\ \vec{F_{\Sigma}} &=& \dbinom{50N}{0}+\dbinom{60N}{0}+\dbinom{-40N\cos(40^\circ)}{40N\sin(40^\circ)}+\dbinom{-30N\cos(30^\circ)}{-30N\sin(30^\circ)} \\ \vec{F_{\Sigma}} &=& \dbinom{50N+60N-40N\cos(40^\circ)-30N\cos(30^\circ)} {0+0+40N\sin(40^\circ)-30N\sin(30^\circ)} \\ \mathbf{\vec{F_{\Sigma}}} &=& \mathbf{\dbinom{53.3774601617N} {10.7115043875N}} \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline |\vec{F_{\Sigma}}| &=& \sqrt{53.3774601617^2N^2+10.7115043875^2N^2} \\ \mathbf{|\vec{F_{\Sigma}}|} &=& \mathbf{54.4416162467N} \quad | \quad \text{Betrag der Summenkraft} \\\\ \alpha &=& \arctan\left(\dfrac{10.7115043875N}{53.3774601617N}\right) \\ \alpha &=& \arctan(0.20067467345) \\ \mathbf{\alpha} &=& \mathbf{11.3470968211^\circ} \quad | \quad \text{Winkel zwischen $\vec{F_{\Sigma}}$ und der $x$-Achse} \\ \hline \end{array}$