Berechnen von x, sodass die Dreiecksfläche, die durch diese Vektoren aufgespannt wird, 11,66mm beträgt

 x^2-16=0=(x-4)*(x+4)

Berechnen Sie x, sodass die Dreiecksfläche, die durch diese Vektoren aufgespannt wird, 11,66mm beträgt. Gegeben sind die Vektoren a=(0,3,4) ; b=(x,3,0)

$$\small{
\begin{array}{rcl}
2A_{\text{Dreieck}} &=&\begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \end{vmatrix} \\\\
2A_{\text{Dreieck}} &=& \begin{Vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ x & 3 & 0 \end{Vmatrix} \\ \\
2A_{\text{Dreieck}} &=&
\left{|} \begin{pmatrix}
\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}\\
-\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ x & 0 \end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ x & 3 \end{vmatrix}
\end{pmatrix} \right{|} \\ \\
2A_{\text{Dreieck}} &=&
| \begin{pmatrix} -12 \\ 4x \\ -3x \end{pmatrix} | \\ \\
\end{array}
}$$

Probe. Der Flächenvektor muss senkrecht stehen zu a und b:

$$\small{
\begin{array}{rcl}
\begin{pmatrix} -12 \\ 4x \\ -3x \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 12x-12x = 0 \qquad \text{okay}\\\\
\begin{pmatrix} -12 \\ 4x \\ -3x \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = -12x+12x = 0 \qquad \text{okay}
\end{array}$$

Die Berechnung von x:

$$\small{
\begin{array}{rcl}
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& \sqrt{(-12)^2+(4x)^2+(-3)^2 } \\
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& \sqrt{ 144 + 16x^2 + 9x^2 } \\
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& \sqrt{ 144 + 25x^2 } \quad | \quad 1^2 \\
25x^2 + 144 &=& 4\cdot A_{\text{Dreieck}}^2\\
25x^2 &=& 4\cdot A_{\text{Dreieck}}^2 + 144 \\
25x^2 &=& 4 \cdot 11,66^2 + 144 \\
25x^2 &=& 543,8224 + 144 \\
25x^2 &=& 399,8224 \\
25x^2 &=& 399,8224 \quad | \quad \sqrt{}\\
5x &=& \pm 19.9955595071 \\
x &=& \pm 3.99911190141 \\\\
\mathbf{x} &\mathbf{\approx}& \mathbf{\pm 4 }
\end{array}
}$$

Probe:  a=(0,3,4) ; b=(4,3,0)

$$\small{
\begin{array}{rcl}
2A_{\text{Dreieck}} &=&\begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \end{vmatrix} \\\\
2A_{\text{Dreieck}} &=& \begin{Vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 0 \end{Vmatrix} \\ \\
2A_{\text{Dreieck}} &=&
\left{|} \begin{pmatrix}
\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}\\
-\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}
\end{pmatrix} \right{|} \\ \\
2A_{\text{Dreieck}} &=&
| \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -12 \end{pmatrix} | \\ \\
\end{array}
}$$

$$\small{
\begin{array}{rcl}
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& \sqrt{(-12)^2+(16)^2+(-12)^2 } \\
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& \sqrt{ 144 + 256 + 144 } \\
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& \sqrt{ 544 } \\
2\cdot A_{\text{Dreieck}} &=& 23,3238075794\\ \\
\mathbf{A_{\text{Dreieck}}} &\mathbf{=}& \mathbf{ 11,66 \quad \text{okay} }
\end{array}
}$$