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Aufgabe Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen und geben Sie dabei immer Ihren Lösungsweg an.
(i) \( f(x):=\frac{e^{x^{2}}-1}{e^{x^{2}}+1} \) für \( x \in \mathbb{R} \),
(ii) \( g(x):=\log (x \log x) \) für \( x>1 \),
(iii) \( h(x):=\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right) \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\} \).

 29.05.2023
 #1
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Ableitungsfunktionen 

 

Hallo Said!

 

(I)

\(f(x):=\dfrac{e^{x^{2}}-1}{e^{x^{2}}+1}\\ \ y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\ Quotientenregel\\ f\ddot ur \ x\in \mathbb R\ gilt:\\ f'(x)=\dfrac{e^{x^2}\cdot 2x(e^{x^2}+1)-(e^{x^{2}}-1)e^{x^2}\cdot 2x}{(e^{x^2}+1)^2}= \dfrac{e^{x^2}\cdot 2x\cdot 2}{(e^{x^2}+1)^2}\\ \color{blue }f'(x)=\dfrac{4xe^{x^2}}{e^{2x^2}+2e^{x^2}+1}\)

(II)

\(Welches\ log\ ist\ gemeint?\ ln,\ lg =\ log_{10}\ oder\ log_a?\ a=?\)

 

(III)

\(h(x):=\dfrac{1}{2} \arctan \left(\dfrac{2 x}{1-x^{2}}\right)\\ h'(x)=\frac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1+x^2}\cdot \dfrac{2(1-x^2)-2x\cdot (-2x)}{(1-x^2)^2}=\dfrac{4x^2-2(1-x^2)}{2(1-x^2)^2(x^2+1)}\\ \color{blue}h'(x)=\dfrac{3x^2+1}{2(1-x^2)(x^2+1)}\)

 

Bitte mal nachrechnen. Ich bin mir da nicht ganz sicher.

laugh   !

 30.05.2023

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