Aufgabe 1 $a_{1}=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \quad(n \in \mathbb{N}) .$ 1. Zeigen Sie, dass \( 0

Ich vermute mal, dass der erste Teil lautet

1. Zeigen Sie, dass die Folge der a_n durch 2 von oben beschränkt ist.

oder

1. Zeigen Sie, dass für alle n gilt. a_n < 2.

Das ist nämlich der Fall und würde uns für die anderen beiden Aufgaben helfen. Wir schauen's uns mal an:

Man könnte das per Induktion zeigen. Für a₁ stimmt's offensichtlich. 

Ist a_n < 2, so ist 2+a_n < 4 und daher $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt4 = 2$.

Damit war's das auch schon.

2. Streng monoton wachsend sein heißt erstmal folgendes:

$a_n < a_{n+1} \Leftrightarrow \\ a_n < \sqrt{2+a_n} \Leftrightarrow \\ a_n^2 < a_n +2 \Leftrightarrow \\ a_n \cdot a_n < a_n +2 \Leftrightarrow \\ a_n + (a_n-1) a_n < a_n +2 \Leftrightarrow \\ (a_n-1) a_n < 2$

..und schon sind wir durch einige Äquivalenzumformungen von der Definition von "streng monoton steigend" zu einer Aussage gekommen, die offensichtlich wahr ist (denn alle Folgenglieder sind kleiner als 2 - links steht also etwas was aussieht wie 0,XXXXX * 1,XXXXX was immer kleiner als 2 ist.) Damit ist die Monotonie auch schon nachgewiesen.

3. Eine streng monoton steigende Folge, die von oben beschränkt ist, konvergiert gegen ihre kleinste obere Schranke. Hier wurde ja schon 2 als obere Schranke erwähnt. Würden wir stattdessen zeigen wollen, dass alle a_n < 2-x mit positivem x sind, so funktioniert die letzte Ungleichung aus 1. nicht mehr ohne weiteres (denn es ist nicht automatisch $\sqrt{4-x} \leq 2-x$). Es ist also 2 die kleinste obere Schranke und damit auch unser gesuchter Grenzwert.

Frag' gern nochmal nach wenn's Fragen gibt!