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Aufgabe 1
\(
a_{1}=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \quad(n \in \mathbb{N}) .
\)
1. Zeigen Sie, dass \( 0 2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) streng monoton wachsend ist.
3. Folgern Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

 07.12.2022
 #1
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Ich vermute mal, dass der erste Teil lautet

1. Zeigen Sie, dass die Folge der an durch 2 von oben beschränkt ist.

oder

1. Zeigen Sie, dass für alle n gilt. an < 2.

Das ist nämlich der Fall und würde uns für die anderen beiden Aufgaben helfen. Wir schauen's uns mal an:

 

Man könnte das per Induktion zeigen. Für a1 stimmt's offensichtlich. 

Ist an < 2, so ist 2+an < 4 und daher \(a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt4 = 2\).

Damit war's das auch schon.

 

2. Streng monoton wachsend sein heißt erstmal folgendes:

\(a_n < a_{n+1} \Leftrightarrow \\ a_n < \sqrt{2+a_n} \Leftrightarrow \\ a_n^2 < a_n +2 \Leftrightarrow \\ a_n \cdot a_n < a_n +2 \Leftrightarrow \\ a_n + (a_n-1) a_n < a_n +2 \Leftrightarrow \\ (a_n-1) a_n < 2\)

..und schon sind wir durch einige Äquivalenzumformungen von der Definition von "streng monoton steigend" zu einer Aussage gekommen, die offensichtlich wahr ist (denn alle Folgenglieder sind kleiner als 2 - links steht also etwas was aussieht wie 0,XXXXX * 1,XXXXX was immer kleiner als 2 ist.) Damit ist die Monotonie auch schon nachgewiesen.

 

3. Eine streng monoton steigende Folge, die von oben beschränkt ist, konvergiert gegen ihre kleinste obere Schranke. Hier wurde ja schon 2 als obere Schranke erwähnt. Würden wir stattdessen zeigen wollen, dass alle an < 2-x mit positivem x sind, so funktioniert die letzte Ungleichung aus 1. nicht mehr ohne weiteres (denn es ist nicht automatisch \(\sqrt{4-x} \leq 2-x\)). Es ist also 2 die kleinste obere Schranke und damit auch unser gesuchter Grenzwert.

 

Frag' gern nochmal nach wenn's Fragen gibt!

 07.12.2022

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