+107 Auf dem Vektoraum \( C[0,1] \) der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) erklären wir
\(
\|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| d x \text { und }\|f\|_{\infty}:=\sup _{0 \leq x \leq 1}|f(x)|
\)
(a) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(b) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{\infty} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(c) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( p_{n}(x):=x^{n} . \) Bestimmen Sie \( \left\|p_{n}\right\|_{1} \) und \( \left\|p_{n}\right\|_{\infty} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
(d) Sind die Normen \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) äquivalent?
+3976 Eine Norm muss die folgenden Eigenschaften erfüllen (aus Wiki): Die Norm ist stets positiv oder 0, und
a) Die 1-Norm liefert nur positive Werte (oder 0), denn |f(x)| nimmt nur positive Werte oder 0 an. Die Nullfunktion ist die einzige stetige Funktion, bei der das Integral des Betrags den Wert 0 annimmt, daher funktioniert (1). Die Normeigenschaft (2) folgt, weil sie für den Betrag gilt und weil das Integral linear ist.
Für die Dreiecksungleichung nutzen wir aus, dass die Dreiecksungleichung für den Betrag gilt (bei *) :
\(||f+g||_1 = \int_0^1 |(f+g)(x)|dx = \int_0^1 |f(x) + g(x)|dx \leq^* \int_0^1|f(x)|+|g(x)|dx = \int_0^1 |f(x)|dx + \int_0^1|g(x)|dx = ||f||_1 + ||g||_1\)
Also klappt auch (3) - die 1-Norm ist also tatsächlich eine Norm.
Für die b) ist das gleiche zu tun, das überlass' ich mal dir zur Übung.
c) Ist eigentlich nicht so schwer. Für die unendlich-Norm ist der Norm-Wert jedes Monoms 1 (denk kurz drüber nach falls es dir nicht sofort auffällt - man sieht's eigentlich leicht.)
Für die 1-Norm rechnen wir:
\(||p_n||_1 = \int_0^1|p_n(x)|dx = \int_0^1 p_n(x) dx = \int_0^1 x^n dx = [\frac{1}{n+1} x^{n+1}]_0^1 = \frac{1}{n+1}\)
d) mach ich dir evtl. später. Ich spoiler schonmal: sie sind nicht äquivalent! Man kann's super zeigen mit der Funktionenfolge aus c). Versuch's gern schonmal selbst ;)
+3976 Sind Wiki-Bilder illegal? Ich schreib' die Eigenschaften einfach hier nochmal auf:
Eine Norm ||.|| bildet von einem reellen Vektorraum in die Menge der positiven reellen Zahlen (mit 0) ab. Sie muss folgende Eigenschaften erfüllen:
(1) ||x|| = 0 -> x=0 (Definitheit - jeder nicht-null-Vektor hat nicht Norm 0)
(2) ||kx||=|k|*||x|| (k eine Zahl, x ein Vektor - Homogenität)
(3) ||x+y|| kleiner oder gleich ||x||+||y|| (Dreiecksungleichung)
