Probolobo

Ein Bruch, bei dem Zähler&Nenner übereinstimmen, hat stets den Wert 1.

Danke dir! :)
Ist immer schön, wenn am Ende jemand was verstanden hat!

56+4394893,99 = 4394949,99

Für solche Rechnungen kannst du auch den web2.0-Rechner (oder einen einfachen Taschenrechner) benutzen.

Der Induktionsanfang ist ja wie gewohnt einfach: Eine Gerade teilt die Ebene in 2=(1²+1+2)/2 Teile.

Für den Induktionsschritt muss ich nochmal nachfragen: Was genau bedeutet "in allgemeiner Lage" hier? Soll kein Punkt von 3 oder mehr Geraden getroffen werden? Bin mir relativ sicher, dass das für die Aussage notwendig ist.

Ein Gegenbeispiel macht das ganz gut deutlich: Drei Ursprungsgeraden teilen die Ebene in 6 Stücke, aber (3²+2+2)/2=7.

Mit dieser Annahme klappt dann auch der Induktionsschritt:
Wir nehmen an, dass die ersten n Geraden die Ebene in (n²+n+2)/2 Teile teilt. Wir fügen dieser Konstellation nun eine Gerade hinzu. Diese schneidet die bisherigen n Geraden in jeweils einem Punkt, es gibt also nun n neue Schnittpunkte (weil sich ja nirgends mehr als 2 Geraden treffen.)

Die Abschnitte der neuen Geraden, die von jeweils 2 Schnittpunkten berandet sind, teilen genau ein Flächenstück in 2 Flächenstücke auf. Von solchen Abschnitten gibt es n-1 Stück, also n-1 "neue" Flächen. Die beiden "Endstücke" teilen ebenfalls ein Flächenstück auf, also gibt es noch 2 neue Flächenstücke mehr, insgesamt dann n+1.

Da es vorher (Induktionsannahme!) (n²+n+2)/2 Teile gab, gibt es mit einer Geraden mehr genau

$\frac{n^2+n+2}{2}+n+1 = \frac{n^2+n+2+2n+2}{2} = \frac{n^2+2n+1+n+3}{2} =\frac{(n+1)^2+(n+1)+2}{2}$ Flächenstücke. Damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen.

Als Vielfache von 6 bezeichnet man die Zahlen, die entstehen, wenn man 6 mit einer ganzen Zahl multipliziert.

Das wären beispielsweise 6 selbst, 12, 18, 24, 30, ...

Ich hoffe, das beantwortet deine Frage. Frag' gern nochmal nach wenn nicht.

Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 ausgibt.

Wir suchen also für $f(x)=\frac{1}{4}x^2$ die x-Werte, bei denen gilt $\frac{1}{4}x^2 = 0$.

Hier ist das in einer relativ kleinen Rechnung machbar:

$\frac{1}{4}x^2 = 0 \ \ \ |:\frac{1}{4} \\ x^2 = 0 \ \ \ |\sqrt. \\ x_{1/2} = 0$

Ganz allgemein für quadratische Funktionen (der Form ax²+bx+c) klappt das am schnellsten mit der sog. Mitternachtsformel

$x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a}$

Wir summieren hier alle ungeraden Zahlen auf.

Der Induktionsanfang ist - wie sehr oft bei Induktionsbeweisen - sehr schnell abgehandelt:
Für n=1 ist 1=1².

Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt (Induktionsvoraussetzung!), und folgern, dass sie auch für n+1 gilt.

$1+3+5+...+(2n-1) + (2n+1) = * \\ n^2 + (2n +1) = \\ (n+1)^2$

Bei (*) habe ich die Induktionsvoraussetzung genutzt. Das Ergebnis ist dann eine binomische Formel, das ruft eventuell 8.-Klasse-Flashbacks hervor ;)

Sehr gern! :)

Induktionsanfang: n = 5: 2^5 = 32 > 25 = 5^2 - passt!

Wir nehmen also nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern daraus, dass sie auch für n+1 gilt:

$2^{n+1} = \\ 2 \cdot 2^n \geq * \\ 2 \cdot n^2 \geq ** \\ (n+1)^2$

Dabei habe ich in (*) die Induktionsvoraussetzung benutzt.

(**) folgt, weil $2n^2 = n^2 + n^2 \geq n^2 +2n+1 = (n+1)^2$ offenbar gilt für n größer oder gleich 5.

Immer gern! :)
Der ganze Induktionsschritt ist übrigens in meiner anderen Antwort.