Probolobo

Gib' einfach Zahlen mit einem "-" davor ein. Ggf. ist einklammern sinnvoll.

zB 3 * (-5) = -15

33-8=25

25-8=17

17-8=9

9-8=1

-> 33 = 4 x 8 +1

-> Vier Mal passt die 8 in die 33.

Zunächst sammeln wir alle Formeln ein, die für die Aufgabe nötig sind, also Mantelfläche, Oberfläche & Volumen:

$M = \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + M \\ V = \frac{1}{3} \cdot G h = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h$

Wir wissen außerdem, dass $\frac{r}{s} = \frac{5}{8} \rightarrow r = \frac{5}{8} \cdot s$

Diese Info können wir in die Gleichung für die Mantelfläche einsetzen:

$M = \pi \cdot \frac{5}{8}s \cdot s \\ 650cm^2 = \frac{5 \pi} {8} s^2 \ \ |:( \frac{5 \pi} {8}) \\ 331,04cm^2 = s^2 \ \ | \sqrt. \\ 18,2cm = s$

Damit folgt außerdem gleich der Radius, nämlich 18,2* 5/8 = 11,4.

Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe h des Kegels berechnet werden: h steht senkrecht auf dem Radius r und bildet zusammen mit der Mantellinie s (Hypothenuse!) ein rechtwinkliges Dreieck, es ist h² + r² = s² .

$h^2 + r^2 = s^2 \\ h^2 = s^2 - r^2 \\ h = \sqrt {s^2-r^2} = \sqrt{(18,2cm)^2 - (11,4cm)^2} = 14,2cm$

Damit sind alle Größen bekannt, die für die Volumen- und Oberflächenformel nötig sind. Einsetzen liefert die gewünschten Ergebnisse:

$O = r^2 \pi + M \\ O = (11,4cm)^2 \pi + 650cm^2 \\ O = 408,2cm^2 + 650cm^2 \\ O = 1058,2cm^2 \\ und\\ V = \frac{1}{3}r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (11,4cm)^2 \cdot \pi \cdot 14,2cm \\ V = 1932,5cm^3 \approx 1,9dm^3$

Ich nenne das Kästchen hier mal x - dann sieht das so aus:

$\frac{7}{10} + 1,0 = \frac{x}{10} \\ \frac{7}{10} + \frac{10}{10} = \frac{x}{10} \\ \frac{17}{10} = \frac{x}{10} \ | \cdot 10 \\ 17 = x$

Das Kästchen hier ist also 17.

3x6 = 18, das Endergebnis hat so viele Nachkommastellen wie die beiden Zahlen am Anfang.

-> 0,3x6 = 1,8

a) 

$(\frac{8}{9} - \frac{6}{9})+(\frac{4}{9}+\frac{7}{9}) = \\ \frac{2}{9} + \frac{11}{9} = \\ \frac{13}{9}$

b)

$(\frac{18}{11} - \frac{3}{11}) - \frac{7}{11} = \\ \frac{15}{11} - \frac{7}{11} = \\ \frac{8}{11}$

Ich habe jeweils in Zeile 1 die Aufgabenstellung als Term aufgeschrieben. In Zeile 2 werden jeweils die Klammern berechnet (merke: Klammer vor Punkt vor Strich). Damit folgt das Ergebnis.

Hier ging das zügig, weil die Brüche bereits alle den gleichen Nenner haben. Falls das nicht der Fall ist, ist es sinnvoll, erstmal alles auf den gleichen Nenner zu bringen, um dann genauso vorgehen zu können.

Ein absoluter Klassiker, der bis zum Abi relevant ist!

Wir packen zunächst den Satz in eine Ungleichung. Dafür brauchen wir eine Möglichkeit, die Wahrscheinlicheit für mindestens ein Wappen zu berechnen. Für die Rechnung gehen wir von einer fairen Münze aus, d.h. die Wahrscheinlichkeit für "Wappen" bei einem Wurf ist 50%=0,5.

Die Anzahl der Würfe soll im Folgenden mit "n" bezeichnet werden.

Es ist "min. ein Wappen" genau das Gegenereignis zu "gar kein Wappen" = "nur Kopf". Dafür ist die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen 0,5ⁿ .

Es folgt:

$P("min. ein \ Wappen") > 0,95 \\ 1-0,5^n > 0,95 \ | +0,5^n; -0,95 \\ 0,05 > 0,5^n \ |ln \\ ln(0,05) > ln(0,5^n) \ |Rechengesetz: ln(a^b) = b \cdot ln(a) \\ ln(0,05) > 2 \cdot ln(0,5) \ |:ln(0,5) \ (ist \ negativ!) \\ \frac{ln(0,05)}{ln(0,5} < n \\ 4,32 < n$

Das gesuchte n ist also die erste natürliche Zahl, die die Ungleichung "4,32 < n" erfüllt - also 5.

Erstmal:

Das "h" steht hier für "hekto", also 100, das "m" in "mbar" für "milli", also tausendstel.

Für Druck sind sowohl bar als auch Pascal (Pa) gebräuchlich, dabei gilt: 1bar = 100000Pa, und Pascal (Pa) ist nur eine Kurzschreibweise für N/m².

Das bedeutet für deine Frage:

1hPa = 100Pa (und 1Pa = 0,01hPa)

1hPa = 100Pa = 0,001bar = 1mbar

1hPa = 100Pa = 100N/m²

1N/m² = 1Pa = 0,00001bar = 0,01mbar

Der Induktionsanfang passt ja schonmal.

Unsere Induktionsannahme ist nun, dass die Aussage für die ersten n Zahlen gilt. Wir zeigen im Induktionsschritt, dass die Aussage dann auch für die nächste Zahl (n+1) gilt.

Dafür erstmal: Wenn die Aussage für n gilt, dann ist 

(*)    $12^{2n-1} = 133k-11^{n+1}$

Nun zum Induktionsschritt:

$11^{(n+1)+1} + 12^{2(n+1)-1} = \\ 11 \cdot 11^{n+1}+12^2 \cdot 12^{2n-1} =^* \\ 11 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot (133k - 11^{n+1}) = \\ 11 \cdot 11^{n+1} -144 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot 133k = \\ -133 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot 133k = \\ 133 \cdot (-11^{n+1}+144k)$

Gilt also (*), dann ist die Aussage für n+1 wahr mit 

$k' = -11^{n+1} + 144k$

Punkt vor Strich stimmt schon, es wird auch nirgendwo dagegen verstoßen. 

Das wichtige beim Umformen von Gleichungen ist, dass die Rechenoperation immer auf beiden Seiten durchgeführt wird. 

Wenn zunächst durch 1/2 geteilt werden soll, ist das ok. Dabei muss dann allerdings nicht nur 1/2x und 5/6, sondern auch 1/3 auf der linken Seite durch 1/2 geteilt werden (Jeder Summand halt ;) )