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Wie oft muss man eine Münze werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Wappen zu werfen, größer als 95% ist?

 10.05.2020
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Ein absoluter Klassiker, der bis zum Abi relevant ist!

Wir packen zunächst den Satz in eine Ungleichung. Dafür brauchen wir eine Möglichkeit, die Wahrscheinlicheit für mindestens ein Wappen zu berechnen. Für die Rechnung gehen wir von einer fairen Münze aus, d.h. die Wahrscheinlichkeit für "Wappen" bei einem Wurf ist 50%=0,5.

Die Anzahl der Würfe soll im Folgenden mit "n" bezeichnet werden.

 

Es ist "min. ein Wappen" genau das Gegenereignis zu "gar kein Wappen" = "nur Kopf". Dafür ist die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen 0,5n .

Es folgt:

 

\(P("min. ein \ Wappen") > 0,95 \\ 1-0,5^n > 0,95 \ | +0,5^n; -0,95 \\ 0,05 > 0,5^n \ |ln \\ ln(0,05) > ln(0,5^n) \ |Rechengesetz: ln(a^b) = b \cdot ln(a) \\ ln(0,05) > 2 \cdot ln(0,5) \ |:ln(0,5) \ (ist \ negativ!) \\ \frac{ln(0,05)}{ln(0,5} < n \\ 4,32 < n\)

 

Das gesuchte n ist also die erste natürliche Zahl, die die Ungleichung "4,32 < n" erfüllt - also 5.

 09.06.2020

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