Hallo, ich brauche mal kurz Hilfe.
Die Aufgabenstellung heißt
Zu jedem n∈IN gibt es ein k∈IN mit 11n+1 + 122n−1= 133k
Ich muss hierzu eine vollständige Induktion machen.
Mein Induktionsanfang ist wie folgt:
n=k=1
111+1 + 122*1−1= 133*1
133=133
+3976 Der Induktionsanfang passt ja schonmal.
Unsere Induktionsannahme ist nun, dass die Aussage für die ersten n Zahlen gilt. Wir zeigen im Induktionsschritt, dass die Aussage dann auch für die nächste Zahl (n+1) gilt.
Dafür erstmal: Wenn die Aussage für n gilt, dann ist
(*) \(12^{2n-1} = 133k-11^{n+1}\)
Nun zum Induktionsschritt:
\(11^{(n+1)+1} + 12^{2(n+1)-1} = \\ 11 \cdot 11^{n+1}+12^2 \cdot 12^{2n-1} =^* \\ 11 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot (133k - 11^{n+1}) = \\ 11 \cdot 11^{n+1} -144 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot 133k = \\ -133 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot 133k = \\ 133 \cdot (-11^{n+1}+144k)\)
Gilt also (*), dann ist die Aussage für n+1 wahr mit
\(k' = -11^{n+1} + 144k\)
