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Hallo, ich brauche mal kurz Hilfe.

Die Aufgabenstellung heißt

Zu jedem n∈IN gibt es ein k∈IN mit 11n+1 + 122n−1= 133k

Ich muss hierzu eine vollständige Induktion machen.

Mein Induktionsanfang ist wie folgt:

n=k=1 

111+1 + 122*1−1= 133*1

133=133

 20.05.2020
 #1
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Der Induktionsanfang passt ja schonmal.

Unsere Induktionsannahme ist nun, dass die Aussage für die ersten n Zahlen gilt. Wir zeigen im Induktionsschritt, dass die Aussage dann auch für die nächste Zahl (n+1) gilt.

 

Dafür erstmal: Wenn die Aussage für n gilt, dann ist 

(*)    \(12^{2n-1} = 133k-11^{n+1}\)

 

Nun zum Induktionsschritt:

 

\(11^{(n+1)+1} + 12^{2(n+1)-1} = \\ 11 \cdot 11^{n+1}+12^2 \cdot 12^{2n-1} =^* \\ 11 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot (133k - 11^{n+1}) = \\ 11 \cdot 11^{n+1} -144 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot 133k = \\ -133 \cdot 11^{n+1} + 144 \cdot 133k = \\ 133 \cdot (-11^{n+1}+144k)\)

 

Gilt also (*), dann ist die Aussage für n+1 wahr mit 

\(k' = -11^{n+1} + 144k\)

 09.06.2020

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