9 Prozent von 100 Prozent sind 9 Prozent

What is the 50th digit of pi

$$\small{\text{$\pi=$}}$$

$$\\\small{\text{$
3.$}}\\
\small{\text{$1415926535 $}}\\
\small{\text{$8979323846 $}}\\
\small{\text{$2643383279 $}}\\
\small{\text{$5028841971 $}}\\
\small{\text{$69399375\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}0$}}$$

The 50th digit of $$\small{\text{$\pi$}}$$ is 1

(tan x)^2 − tan x − 42 = 0

We substitute:  $$\small{\text{$z=\tan{(x)}$}}$$

So we have: $$\small{\text{$z^2 -z - 42 = 0$}}$$

$$\small{\text{$
z_{1,2}=\frac{ 1\pm \sqrt{1-4\cdot(-42)} }{2\cdot 1}
=\frac{ 1\pm \sqrt{1+168 } }{2}
=\frac{ 1\pm \sqrt{169 } }{2}
=\frac{ 1\pm 13 }{2}
$}}\\\\
\small{\text{
$\begin{array}{l|l}
\hline
\\
z_1=\frac{ 1 + 13 }{2} \quad & \quad z_2=\frac{ 1 - 13 }{2}\\\\
z_1=\frac{ 14 }{2} \quad & \quad z_2=-\frac{ 12 }{2}\\\\
z_1=7 \quad & \quad z_2=-6\\\\
\hline
\\
\tan{(x_1)}=z_1=7 \quad & \quad \tan{(x_2)}=z_2=-6 \\\\
x_1 = \arctan(7) \quad & \quad x_2 = \arctan(-6)\\\\
\boxed{x_1 = 81.8698976458\ensurement{^{\circ}} \pm k\cdot 180\ensurement{^{\circ}}} \quad & \quad \boxed{ x_2 = -80.5376777920\ensurement{^{\circ}}\pm k\cdot 180\ensurement{^{\circ}}}
\end{array}
$}}$$  

k= 0,1,2, ...

10 and 1/3 divided by 2 and 1/4

$$\small{\text{
$
\dfrac{ 10 \frac{1}{3} } { 2\frac{1}{4} }
=\dfrac{ \frac{3\cdot10+1}{3} } { \frac{4\cdot 2+ 1}{4} }
=\dfrac{ \frac{31}{3} } { \frac{9}{4} }
= \frac{31}{3} \cdot \frac{4}{9}
= \frac{31\cdot 4}{3\cdot 9}
= \frac{124}{27}
= 4\frac{16}{27}
$
}}$$

(3+b*i)*(3-b*i)=25          b ist gesucht

Die Gleichung  $$\small{\text{$ (3+b\cdot i)\cdot (3-b\cdot i) = 25 $}}$$  lösen wir nach b auf.

Auf der linken Seite steht eine imaginäre Zahl $$\small{\text{$z = 3 + b\cdot i $}}$$ und die konjugiert komplexe Zahl $$\small{\text{$\bar z = 3 - b\cdot i $}}$$

Das Produkt aus einer komplexen Zahl  $$\small{\text{$z=a+b\cdot \mathrm{i}$}}$$  und ihrer komplex Konjugierten  $$\small{\text{$\bar z = a - b\cdot i $}}$$  ergibt das Quadrat ihres Betrages: $$\small{\text{$
z\cdot\bar z = (a+b\cdot \mathrm{i})\cdot (a-b\cdot \mathrm{i}) = a^2 + b^2=|z|^2
$}}$$

Wir haben also $$\small{\text{$ (3+b\cdot i)\cdot (3-b\cdot i) = 3^2+b^2 $}}$$ 

und weiter $$\small{\text{$ 3^2+b^2= 25 $}}$$  beziehungsweise $$\small{\text{$ 3^2+b^2= 5^2 $}}$$

Wir lösen nun nach b auf:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
3^2+b^2 &=& 5^2 \\\\
b^2 &=& 5^2 - 3^2 \\\\
b^2 &=& 25-9 \\\\
b^2 &=& 16 \quad | \quad \pm\sqrt\\ \\
b &=& \pm\sqrt{16}\\ \\
b &=& \pm4
\end{array}
$}}$$

Was bedeutet Dreierpotenzen der natürlichen Zahlen ?

$$\small{
\begin{array}{c|c}
\text{nat\"urliche Zahl} & \text{Dreierpotenz} \\
\hline
\\
(0) & 0^3 \\
1 & 1^3 \\
2 & 2^3 \\
3 & 3^3 \\
4 & 4^3 \\
5 & 5^3 \\
\cdots & \cdots \\
n & n^3 \\
\\
\hline
\end{array}
}$$

If c=12, m angle A=80, and m angle c=40, find a

The sine rule

We can use the sine rule to find the size of an angle or length of a side.

4{[4(x-1)+3]-[2(2x-1)+3]} = ?

$$\small{\text{$ 4 \cdot\{\,[\,4(x-1)+3\,]-[\,2(2x-1)+3\,]\,\} $}} \\
\small{\text{$ = 4 \cdot[\,(4x-4+3)-(4x-2+3)\,]$}} \\
\small{\text{$ =4 \cdot(\, 4x-4+3-4x+2-3\,)$}} \\
\small{\text{$ =4 \cdot(\,-4+2\,)$}} \\
\small{\text{$ =4 \cdot(-2)$}} \\
\small{\text{$ =-8 $}}$$

Given the geometric sequence:   9,  3,  1,  ...  .      Find S6

ratio r =  $$\small{\text{$
\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $}}$$ and $$\small{\text{$a=9$}}$$ so

$$\small{\text{$
\boxed{a_n=a\cdot
\left(
\frac{1}{3}\right)^{n-1}}
$}}$$

$$s_6=9+3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}\\ \\
s_6=13+0.\overline{481}\\\\
s_6=13.\overline{481}$$

how would i turn 1/2^-3 into a positive exponent ?

$$\dfrac{1}{ 2^{-3} } = \left( \dfrac{1}{ 2 } \right)^{-3}\\\\
\small{\text{
Formula:
$\boxed{
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-3}
= \left( \dfrac{b}{a} \right)^{3}
}$}}\\\\
\left( \dfrac{1}{ 2 } \right)^{-3}
=\left( \dfrac{2}{ 1 } \right)^{3} = 2^3$$