9 Prozent von 100 Prozent sind 9 Prozent

What is the 50th digit of pi

$$\small{\text{$\pi=$}}$$

$$\\\small{\text{$ 3.$}}\\ \small{\text{$1415926535 $}}\\ \small{\text{$8979323846 $}}\\ \small{\text{$2643383279 $}}\\ \small{\text{$5028841971 $}}\\ \small{\text{$69399375\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}0$}}$$

The 50th digit of  $$\small{\text{$\pi$}}$$ is 1

(tan x)^2 − tan x − 42 = 0

We substitute:   $$\small{\text{$z=\tan{(x)}$}}$$

So we have: $$\small{\text{$z^2 -z - 42 = 0$}}$$

$$\small{\text{$ z_{1,2}=\frac{ 1\pm \sqrt{1-4\cdot(-42)} }{2\cdot 1} =\frac{ 1\pm \sqrt{1+168 } }{2} =\frac{ 1\pm \sqrt{169 } }{2} =\frac{ 1\pm 13 }{2} $}}\\\\ \small{\text{ $\begin{array}{l|l} \hline \\ z_1=\frac{ 1 + 13 }{2} \quad & \quad z_2=\frac{ 1 - 13 }{2}\\\\ z_1=\frac{ 14 }{2} \quad & \quad z_2=-\frac{ 12 }{2}\\\\ z_1=7 \quad & \quad z_2=-6\\\\ \hline \\ \tan{(x_1)}=z_1=7 \quad & \quad \tan{(x_2)}=z_2=-6 \\\\ x_1 = \arctan(7) \quad & \quad x_2 = \arctan(-6)\\\\ \boxed{x_1 = 81.8698976458\ensurement{^{\circ}} \pm k\cdot 180\ensurement{^{\circ}}} \quad & \quad \boxed{ x_2 = -80.5376777920\ensurement{^{\circ}}\pm k\cdot 180\ensurement{^{\circ}}} \end{array} $}}$$   

k= 0,1,2, ...

10 and 1/3 divided by 2 and 1/4

$$\small{\text{ $ \dfrac{ 10 \frac{1}{3} } { 2\frac{1}{4} } =\dfrac{ \frac{3\cdot10+1}{3} } { \frac{4\cdot 2+ 1}{4} } =\dfrac{ \frac{31}{3} } { \frac{9}{4} } = \frac{31}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{31\cdot 4}{3\cdot 9} = \frac{124}{27} = 4\frac{16}{27} $ }}$$

(3+b*i)*(3-b*i)=25          b ist gesucht

Die Gleichung   $$\small{\text{$ (3+b\cdot i)\cdot (3-b\cdot i) = 25 $}}$$   lösen wir nach b auf.

Auf der linken Seite steht eine imaginäre Zahl $$\small{\text{$z = 3 + b\cdot i $}}$$  und die konjugiert komplexe Zahl $$\small{\text{$\bar z = 3 - b\cdot i $}}$$

Das Produkt aus einer komplexen Zahl  $$\small{\text{$z=a+b\cdot \mathrm{i}$}}$$   und ihrer komplex Konjugierten  $$\small{\text{$\bar z = a - b\cdot i $}}$$   ergibt das Quadrat ihres Betrages: $$\small{\text{$ z\cdot\bar z = (a+b\cdot \mathrm{i})\cdot (a-b\cdot \mathrm{i}) = a^2 + b^2=|z|^2 $}}$$

Wir haben also $$\small{\text{$ (3+b\cdot i)\cdot (3-b\cdot i) = 3^2+b^2 $}}$$  

und weiter $$\small{\text{$ 3^2+b^2= 25 $}}$$   beziehungsweise $$\small{\text{$ 3^2+b^2= 5^2 $}}$$

Wir lösen nun nach b auf:

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} 3^2+b^2 &=& 5^2 \\\\ b^2 &=& 5^2 - 3^2 \\\\ b^2 &=& 25-9 \\\\ b^2 &=& 16 \quad | \quad \pm\sqrt\\ \\ b &=& \pm\sqrt{16}\\ \\ b &=& \pm4 \end{array} $}}$$

Was bedeutet Dreierpotenzen der natürlichen Zahlen ?

$$\small{ \begin{array}{c|c} \text{nat\"urliche Zahl} & \text{Dreierpotenz} \\ \hline \\ (0) & 0^3 \\ 1 & 1^3 \\ 2 & 2^3 \\ 3 & 3^3 \\ 4 & 4^3 \\ 5 & 5^3 \\ \cdots & \cdots \\ n & n^3 \\ \\ \hline \end{array} }$$

If c=12, m angle A=80, and m angle c=40, find a

The sine rule

We can use the sine rule to find the size of an angle or length of a side.

4{[4(x-1)+3]-[2(2x-1)+3]} = ?

$$\small{\text{$ 4 \cdot\{\,[\,4(x-1)+3\,]-[\,2(2x-1)+3\,]\,\} $}} \\ \small{\text{$ = 4 \cdot[\,(4x-4+3)-(4x-2+3)\,]$}} \\ \small{\text{$ =4 \cdot(\, 4x-4+3-4x+2-3\,)$}} \\ \small{\text{$ =4 \cdot(\,-4+2\,)$}} \\ \small{\text{$ =4 \cdot(-2)$}} \\ \small{\text{$ =-8 $}}$$

Given the geometric sequence:   9,  3,  1,  ...  .      Find S6

ratio r =  $$\small{\text{$ \frac{3}{9}=\frac{1}{3} $}}$$  and $$\small{\text{$a=9$}}$$  so

$$\small{\text{$ \boxed{a_n=a\cdot \left( \frac{1}{3}\right)^{n-1}} $}}$$

$$s_6=9+3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}\\ \\ s_6=13+0.\overline{481}\\\\ s_6=13.\overline{481}$$

how would i turn 1/2^-3 into a positive exponent ?

$$\dfrac{1}{ 2^{-3} } = \left( \dfrac{1}{ 2 } \right)^{-3}\\\\ \small{\text{ Formula: $\boxed{ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-3} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^{3} }$}}\\\\ \left( \dfrac{1}{ 2 } \right)^{-3} =\left( \dfrac{2}{ 1 } \right)^{3} = 2^3$$