1*8*2*8*3*8*4*8*5*8*6*8*7*8*8*8*9*8

= (8*8*8*8*8*8*8*8*8)*(1*2*3*4*5*6*7*8*9)

= $$8^9\cdot 9!$$

Alan, sorry

 z = x^0.3 y^0.5 

I. partial derivative of z with respect to x :

$$\dfrac{\partial z}{\partial x} =0.3x^{-0.7}y^{0.5}$$

II. partial derivative of z with respect to y :

$$\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.5x^{0.3}y^{-0.5}$$

Differentiate again to find second - order
partial derivatives:

We can also differentiate  $$\small{\frac{ \partial z } { \partial x } \end{array}$$ with respect to y, to find out how it changes when y increases.
This is written as $$\small{\frac{\partial^2 z}{\partial x\ \partial y}}\end{array}$$ and is called a cross-partial derivative:

III. cross partial differential

$$\boxed{\ \dfrac{\partial^2 z}{\partial y\ \partial x} =\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\ \partial y} \ }$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial x\ \partial y}= 0.15\ \cdot x^{-0.7}y^{-0.5}$$

$$nodes: \begin{array}{ccccccccccc} A(1) & \rightarrow & 2 & \rightarrow & 3 & \rightarrow & 4\\ \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow & \\ 5 & \rightarrow & 6 & \rightarrow & 7 & \rightarrow & 8 & \rightarrow & 9 & \rightarrow & 10 \\ \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\ 11 & \rightarrow & 12 & \rightarrow & 13 & \rightarrow & 14 & \rightarrow & 15 & \rightarrow & 16 \\ \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\ 17 & \rightarrow & 18 & \rightarrow & 19 & \rightarrow & 20 & \rightarrow & 21 & \rightarrow & 22 \\ &&&&&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\ &&&& && 23 & \rightarrow & 24 & \rightarrow & B(25)\\ \end{array}$$

adjacency matrix A:

$$Matrix\ A = \bordermatrix{ nodes & A & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{B} \cr \textcolor[rgb]{1,0,0}{A} &0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{0} \cr 2 &0&0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 3 &0&0&0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 4 &0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 5 &0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 6 &0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 7 &0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 8 &0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 9 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 10&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 11&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 12&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0 \cr 13&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0 \cr 14&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0 \cr 15&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0 \cr 16&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0 \cr 17&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0 \cr 18&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0 \cr 19&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0 \cr 20&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0 \cr 21&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0 \cr 22&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \cr 23&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0 \cr 24&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \cr B &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr }$$

  $$\small{\text{ entrys $ \qquad 1 = $ one way $\quad 0 = $no way from node x to node y}}$$

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{Matrix \ element[A][B]}$$

$$Matrix\ A^9 =A\cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A = \bordermatrix{ nodes & A & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{B} \cr \textcolor[rgb]{1,0,0}{A} &0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{106} \cr 2 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 3 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 4 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 5 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 6 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 7 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 8 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 9 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 10&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 11&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 12&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 13&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 14&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 15&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 16&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 17&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 18&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 19&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 20&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 21&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 22&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 23&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr 24&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr B &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr }$$

A -> B

  $$A^1: \text{ Matrix element[A][B] } =0\quad \text{ (1-station-way)} \\ A*A=A^2: \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (2-station-way)} \\ A*A*A=A^3 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (3-station-way)} \\ A*A*A*A=A^4 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (4-station-way)}\\ A*A*A*A*A=A^5 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (5-station-way)} \\ A^6 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (6-station-way)} \\ A^7 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (7-station-way)} \\ A^8 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (8-station-way)}\\ A^9 : \text{ Matrix element[A][B] } =106 \quad\text{ (9-station-way)} \\ A^{10} : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (10-station-way)} \\ etc.: \text{ Matrix element[A][B] } = 0$$

A -> B  (only 9-station ways) = 106

How to change negative exponents

$$\boxed{\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n} =\left( \dfrac{b}{a} \right)^{n} \ }$$

Example:

$$a=2 \quad b=1\quad n=3\\\\ \left( \dfrac{2}{1} \right)^{-3} =2^{-3} =\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3} =\dfrac{1}{2^3}$$

How do you turn 8 into six through multiplying

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not8}\cdot \dfrac {\textcolor[rgb]{0,0,1}{6}}{\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not8}}=\textcolor[rgb]{0,0,1}{6}\\$$

5x^2=100

$$\begin{array}{rcl} 5\cdot x^2 &=& 100 \qquad| \quad :5 \\ x^2 &=& 20 \\ x^2 &=& 20 \qquad | \quad \sqrt\\ x &=& \sqrt {20} \\ x &=& \sqrt {4\cdot 5} \\ x &=& \sqrt {4} \cdot \sqrt {5} \qquad | \qaud \sqrt{4} = 2\\ x &=& 2 \cdot \sqrt {5} \\ \end{array}$$

14^x=91

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} 14^x &=& 91 \quad | \quad \ln() \\ \ln(14^x) &=& \ln(91) \\ x\cdot \ln(14) &=& \ln(91) \\\\ x &=& \dfrac{\ln(91)} { \ln(14)} \\\\ x &=& \dfrac{4.51085950652} { 0.32220425047} \\\\ x &=& 1.70926923637 \end{array} $ }}$$

$$14^{1.70926923637} = 91$$

or

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} 14\cdot x &=& 91 \\\\ x = \dfrac{91}{14} \\\\ x = 6.5 \end{array} $ }}$$

$$14\cdot 6.5= 91$$

Nr 381

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \dfrac{+5+7-2-4+3-1+x}{7} &=& 2 \quad | \quad \cdot 7 \qquad ( x = Sonntag ) \\\\ +5+7-2-4+3-1+x &=& 2\cdot 7 \\\\ +5+7-2-4+3-1+x &=& 14 \\ \\ x &=& 14-5-7+2+4-3+1 \\ \\ x &=& 6 \end{array} $ }}\\ \small{\text{ Am Sonntag wurden $+6$ Grad Celsius gemessen }}$$