1*8*2*8*3*8*4*8*5*8*6*8*7*8*8*8*9*8

= (8*8*8*8*8*8*8*8*8)*(1*2*3*4*5*6*7*8*9)

= $$8^9\cdot 9!$$

Alan, sorry

 z = x^0.3 y^0.5 

I. partial derivative of z with respect to x :

$$\dfrac{\partial z}{\partial x} =0.3x^{-0.7}y^{0.5}$$

II. partial derivative of z with respect to y :

$$\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.5x^{0.3}y^{-0.5}$$

Differentiate again to find second - order
partial derivatives:

We can also differentiate  $$\small{\frac{ \partial z } { \partial x } \end{array}$$ with respect to y, to find out how it changes when y increases.
This is written as $$\small{\frac{\partial^2 z}{\partial x\ \partial y}}\end{array}$$ and is called a cross-partial derivative:

III. cross partial differential

$$\boxed{\ \dfrac{\partial^2 z}{\partial y\ \partial x}
=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\ \partial y} \ }$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial x\ \partial y}=
0.15\ \cdot x^{-0.7}y^{-0.5}$$

$$nodes:
\begin{array}{ccccccccccc}
A(1) & \rightarrow & 2 & \rightarrow & 3 & \rightarrow & 4\\
\downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow & \\
5 & \rightarrow & 6 & \rightarrow & 7 & \rightarrow & 8 & \rightarrow & 9 & \rightarrow & 10 \\
\downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
11 & \rightarrow & 12 & \rightarrow & 13 & \rightarrow & 14 & \rightarrow & 15 & \rightarrow & 16 \\
\downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
17 & \rightarrow & 18 & \rightarrow & 19 & \rightarrow & 20 & \rightarrow & 21 & \rightarrow & 22 \\
&&&&&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
&&&& && 23 & \rightarrow & 24 & \rightarrow & B(25)\\
\end{array}$$

adjacency matrix A:

$$Matrix\ A = \bordermatrix{
nodes & A & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{B} \cr
\textcolor[rgb]{1,0,0}{A} &0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{0} \cr
2 &0&0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
3 &0&0&0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
4 &0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
5 &0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
6 &0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
7 &0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
8 &0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
9 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
10&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
11&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
12&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0 \cr
13&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0 \cr
14&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0 \cr
15&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&0 \cr
16&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0 \cr
17&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0 \cr
18&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0 \cr
19&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0 \cr
20&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0 \cr
21&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0 \cr
22&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \cr
23&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0 \cr
24&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \cr
B &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
}$$

 $$\small{\text{
entrys $
\qquad 1 = $ one way $\quad 0 = $no way from node x to node y}}$$

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{Matrix \ element[A][B]}$$

$$Matrix\ A^9 =A\cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A \cdot A = \bordermatrix{
nodes & A & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{B} \cr
\textcolor[rgb]{1,0,0}{A} &0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{106} \cr
2 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
3 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
4 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
5 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
6 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
7 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
8 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
9 &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
10&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
11&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
12&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
13&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
14&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
15&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
16&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
17&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
18&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
19&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
20&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
21&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
22&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
23&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
24&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
B &0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \cr
}$$

A -> B

  $$A^1: \text{ Matrix element[A][B] } =0\quad \text{ (1-station-way)} \\
A*A=A^2: \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (2-station-way)} \\
A*A*A=A^3 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (3-station-way)} \\
A*A*A*A=A^4 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (4-station-way)}\\
A*A*A*A*A=A^5 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (5-station-way)} \\
A^6 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (6-station-way)} \\
A^7 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (7-station-way)} \\
A^8 : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (8-station-way)}\\
A^9 : \text{ Matrix element[A][B] } =106 \quad\text{ (9-station-way)} \\
A^{10} : \text{ Matrix element[A][B] } =0 \quad\text{ (10-station-way)} \\
etc.: \text{ Matrix element[A][B] } = 0$$

A -> B  (only 9-station ways) = 106

How to change negative exponents

$$\boxed{\
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n}
=\left( \dfrac{b}{a} \right)^{n}
\ }$$

Example:

$$a=2 \quad b=1\quad n=3\\\\
\left( \dfrac{2}{1} \right)^{-3}
=2^{-3}
=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3}
=\dfrac{1}{2^3}$$

How do you turn 8 into six through multiplying

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not8}\cdot \dfrac {\textcolor[rgb]{0,0,1}{6}}{\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not8}}=\textcolor[rgb]{0,0,1}{6}\\$$

5x^2=100

$$\begin{array}{rcl}
5\cdot x^2 &=& 100 \qquad| \quad :5 \\
x^2 &=& 20 \\
x^2 &=& 20 \qquad | \quad \sqrt\\
x &=& \sqrt {20} \\
x &=& \sqrt {4\cdot 5} \\
x &=& \sqrt {4} \cdot \sqrt {5} \qquad | \qaud \sqrt{4} = 2\\
x &=& 2 \cdot \sqrt {5} \\
\end{array}$$

14^x=91

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
14^x &=& 91 \quad | \quad \ln() \\
\ln(14^x) &=& \ln(91) \\
x\cdot \ln(14) &=& \ln(91) \\\\
x &=& \dfrac{\ln(91)} { \ln(14)} \\\\
x &=& \dfrac{4.51085950652} { 0.32220425047} \\\\
x &=& 1.70926923637
\end{array}
$
}}$$

$$14^{1.70926923637} = 91$$

or

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
14\cdot x &=& 91 \\\\
x = \dfrac{91}{14} \\\\
x = 6.5
\end{array}
$
}}$$

$$14\cdot 6.5= 91$$

Nr 381

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\dfrac{+5+7-2-4+3-1+x}{7} &=& 2 \quad | \quad \cdot 7 \qquad ( x = Sonntag ) \\\\
+5+7-2-4+3-1+x &=& 2\cdot 7 \\\\
+5+7-2-4+3-1+x &=& 14 \\ \\
x &=& 14-5-7+2+4-3+1 \\ \\
x &=& 6
\end{array}
$
}}\\
\small{\text{
Am Sonntag wurden $+6$ Grad Celsius gemessen }}$$