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(3+b*i)*(3-b*i)=25

 16.04.2015

Beste Antwort 

 #1
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+5

Hallo anonymous!

 

(3 + b * i) * (3 - b * i) = 25          (A + B) * (A - B) = A² - B²   (3. Binom)
 

9 - (b² * i²) = 25                         [ imaginäre Zahl  i = √-1        i ² = -1

9  - (b² * (-1)) = 25

9 + b² = 25                                [ -9  auf beiden Seiten

b² = 16                                      [ Quadratwurzel auf beiden Seiten ziehen

b = ±√16

b(1) = +4 

b(2) = -4

 

Probe:

 

(3 + b * i) * (3 - b * i) = 25

(3 + 4 * i) * (3 - 4 * i) = 25

9 - (16 * (-1)) = 25

25 = 25

(3 + (-4) * i) * (3 - (-4) * i) = 25

9 - (16 * (-1)) = 25

25 = 25

 

 

Gruß asinus :- )

 16.04.2015
 #1
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Hallo anonymous!

 

(3 + b * i) * (3 - b * i) = 25          (A + B) * (A - B) = A² - B²   (3. Binom)
 

9 - (b² * i²) = 25                         [ imaginäre Zahl  i = √-1        i ² = -1

9  - (b² * (-1)) = 25

9 + b² = 25                                [ -9  auf beiden Seiten

b² = 16                                      [ Quadratwurzel auf beiden Seiten ziehen

b = ±√16

b(1) = +4 

b(2) = -4

 

Probe:

 

(3 + b * i) * (3 - b * i) = 25

(3 + 4 * i) * (3 - 4 * i) = 25

9 - (16 * (-1)) = 25

25 = 25

(3 + (-4) * i) * (3 - (-4) * i) = 25

9 - (16 * (-1)) = 25

25 = 25

 

 

Gruß asinus :- )

asinus 16.04.2015
 #2
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(3+b*i)*(3-b*i)=25

9-3bi+3bi-b^2*i^2=25 /-9

b^2*i^2=16 /Wurzel

bi~4

 16.04.2015
 #3
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thanks! :)

 16.04.2015
 #4
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Omi67 16.04.2015
 #5
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+3

(3+b*i)*(3-b*i)=25          b ist gesucht

Die Gleichung  $$\small{\text{$ (3+b\cdot i)\cdot (3-b\cdot i) = 25 $}}$$  lösen wir nach b auf.

 

Auf der linken Seite steht eine imaginäre Zahl $$\small{\text{$z = 3 + b\cdot i $}}$$ und die konjugiert komplexe Zahl $$\small{\text{$\bar z = 3 - b\cdot i $}}$$

 

Das Produkt aus einer komplexen Zahl  $$\small{\text{$z=a+b\cdot \mathrm{i}$}}$$  und ihrer komplex Konjugierten  $$\small{\text{$\bar z = a - b\cdot i $}}$$  ergibt das Quadrat ihres Betrages: $$\small{\text{$
z\cdot\bar z = (a+b\cdot \mathrm{i})\cdot (a-b\cdot \mathrm{i}) = a^2 + b^2=|z|^2
$}}$$

 

Wir haben also $$\small{\text{$ (3+b\cdot i)\cdot (3-b\cdot i) = 3^2+b^2 $}}$$ 

 

und weiter $$\small{\text{$ 3^2+b^2= 25 $}}$$  beziehungsweise $$\small{\text{$ 3^2+b^2= 5^2 $}}$$

 

Wir lösen nun nach b auf:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
3^2+b^2 &=& 5^2 \\\\
b^2 &=& 5^2 - 3^2 \\\\
b^2 &=& 25-9 \\\\
b^2 &=& 16 \quad | \quad \pm\sqrt\\ \\
b &=& \pm\sqrt{16}\\ \\
b &=& \pm4
\end{array}
$}}$$

 17.04.2015

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