heureka

Der web2.0rechner kann auch mit Buchstaben arbeiten!

how much lek are 129 euro $$\small{\text{$\approx 18000\; \rm{Lek}$}}$$

Verdoppelst du deine zahl und addierst 7 dazu, erhälst du 13

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcll} \rm{zahl}+\rm{zahl}+7 &=& 13\\\\ 2\cdot \rm{zahl}+7 &=& 13 \\\\ 2\cdot \rm{zahl}+7 &=& 13 & \quad | \quad -7\\\\ 2\cdot \rm{zahl}+7-7 &=& 13 -7 \\\\ 2\cdot \rm{zahl} + 0 &=& 6 \\\\ 2\cdot \rm{zahl} &=& 6 \\\\ 2\cdot \rm{zahl} &=& 6 & \quad | \quad :2\\\\ \dfrac{\not{2}\cdot \rm{zahl}}{ \not{2} }&=& \dfrac{6}{2} \\\\ \rm{zahl} &=& \dfrac{6}{2} \\\\ \rm{zahl} &=& 3 \\\\ \end{array} $ }}$$

Deine Zahl ist die 3

Given the equation y=4x-3 , If x increases by 1 unit, what is the corresponding change in y

$$y_1=4x-3\\ y_2=4(x+1)-3\\ y_2=4x+4-3\\ y_2=\underbrace{4x-3}_{=y_1}+4 \\ y_2=y_1+4\\ y_2-y_1=\Delta y = 4$$

 the corresponding change in y is 4

wie viel cm misst ein stock der länge 13 zoll

$$\small{\text{ $1\, \rm{zoll}$ oder auch $1\, \rm{inch} = 2.54\, \rm{cm}$ }}\\ \small{\text{ $13\, \rm{zoll}$ oder auch $13\, \rm{inch}$ oder auch $13 " = 13\cdot 2.54\, \rm{cm} = 33.02\, \rm{cm}$ }}\\$$

0,25x²+x-4=-0,5x+1

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcll} 0,25x^2+x-4 &=& -0,5x+1 & \quad | \quad +0.5x-1\\ 0,25x^2+x-4 +0.5x-1&=& 0\\ 0,25x^2 +1.5x-5 &=& 0 & \quad | \quad \cdot 4\\ x^2 + 6x -20 &=& 0\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{36}{4}+20} \\ x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{36}{4} +20\cdot\frac{4}{4}} \\ x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{36+80}{4} } \\ x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{116}{4} } \\ x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{4\cdot 29}{4} } \\ x_{1,2} &=& -3\pm\sqrt{29}\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ $ \begin{array}{l|l} x_1=-3+\sqrt{29} \quad & \quad x_2 = -3 - \sqrt{29}\\ x_1 = 2.38516480713 \quad & \quad x_2 = -8.38516480713\\ \end{array} $}}$$

wie kann ich den schnittpunkt von zwei

2 dimensionalen vektoren bestimmen ?

Gegeben:

• Vektor  $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$  mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_1$}}$$  und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_2$}}$$ .

$$\small{\text{$\vec{v}_1=\vec{P}_2-\vec{P}_1$}}$$

• Vektor $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$  mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_3$}}$$  und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_4$}}$$ .

$$\small{\text{$\vec{v}_2=\vec{P}_4-\vec{P}_3$}}$$

Der Schnittpunkt $$\small{\text{$\vec{s}$}}$$  von $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$  mit $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$  ist gesucht.

Der Ansatz:

$$\boxed{\small{\text{$\lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2=\vec{P}_3-\vec{P}_1$. Wobei $\vec{s}=\vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1= \vec{P}_3+\mu\cdot\vec{v}_2 $ ist.}}}$$ .

Wobei  $$\small{\text{$\lambda$}}$$  und   $$\small{\text{$\mu$}}$$  gesuchte Skalare sind.

Die Berechnung von $$\small{\text{$\lambda$}}$$ :

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcll} \lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2 &=& \vec{P}_3-\vec{P}_1 & \quad | \quad \times \vec{v}_2\\ \lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| - \mu \cdot |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1 \times \vec{v}_2 | & \quad | \quad |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| = |\vec{v}_1|\cdot |\vec{v}_2|\cdot \sin{(0\ensurement{^{\circ}})} = 0 \\ \lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2|\\ \lambda &=& \dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \vec{s} &=& \vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1\\\\ \vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\cdot\vec{v}_1 \\\\ \vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3) | }{ | (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3)| }\cdot (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \\\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \vec{s} &=& \binom{x_1}{y_1}+\dfrac{ | \binom{x_3-x_1}{y_3-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} | }{ | \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} | }\cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\ \binom{s_x}{s_y} &=& \binom{x_1}{y_1} + \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) } { (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) } \cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\ \end{array} $}}$$

$$\boxed{ \small{\text{ $ \begin{array}{rcl} s_x &=& x_1 + \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) } { (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) } \cdot (x_2-x_1)\\\\ s_y &=& y_1 + \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) } { (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) } \cdot (y_2-y_1) \\\\ \end{array} $}}}$$

A fair coin is flipped 7 times. What is the probability that at least 5 of the flips come up heads?

Flipping coin: we set h = head  and t = tail

After 7 times we have the probabilities:

$$\small{ \begin{array}{c|c|l} \text{heads} & \text{tails} & \text{probability}\\ \hline &&\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & 0 & \binom70 \cdot (\frac{1}{2})^7 = \textcolor[rgb]{1,0,0}{1\cdot (\frac{1}{2})^7}\\&& \\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & 1 & \binom71 \cdot (\frac{1}{2})^7= \textcolor[rgb]{1,0,0}{7\cdot (\frac{1}{2})^7}\\&& \\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} & 2 & \binom72 \cdot (\frac{1}{2})^7= \textcolor[rgb]{1,0,0}{21\cdot (\frac{1}{2})^7}\\&& \\ 4 & 3 & \binom73 \cdot (\frac{1}{2})^7= 35\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\ 3 & 4 & \binom74 \cdot (\frac{1}{2})^7= 35\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\ 2 & 5 & \binom75 \cdot (\frac{1}{2})^7= 21\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\ 1 & 6 & \binom76 \cdot (\frac{1}{2})^7= 7\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\ 0 & 7 & \binom77 \cdot (\frac{1}{2})^7= 1\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\ \hline \end{array} }$$

The probabiliies of getting 7 heads and 6 heads and 5 heads is:

$$\small{\text{ $ \textcolor[rgb]{1,0,0}{1\cdot (\frac{1}{2})^7} + \textcolor[rgb]{1,0,0}{7\cdot (\frac{1}{2})^7} +\textcolor[rgb]{1,0,0}{21\cdot (\frac{1}{2})^7} =(1+7+21)\cdot (\frac{1}{2})^7 =29\cdot (\frac{1}{2})^7 = 29 \cdot 0.00781250000$}}\\ \small{\text{ $ =0.22656250000 =22.66\% $ }}$$

MATHE IST SINNLOS ?!?

The diameter of a circle is 1. What is the area of the circle ?

$$\small{\text{Diameter $\,d = 1 $}}$$    

$$\small{\text{Radius $\,r= \frac{d}{2} = \frac{1}{2} $}}$$

$$\small{\text{Area $\,A=\pi\cdot r^2 $}}\\ \small{\text{$A=\pi\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$}}\\ \small{\text{$A=\frac{\pi}{4}$}}\\ \small{\text{$A=\frac{3.14159265359}{4}$}}\\ \small{\text{$A=0.78539816340$}} $}}$$