heureka

Der web2.0rechner kann auch mit Buchstaben arbeiten!

how much lek are 129 euro $$\small{\text{$\approx 18000\; \rm{Lek}$}}$$

Verdoppelst du deine zahl und addierst 7 dazu, erhälst du 13

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcll}
\rm{zahl}+\rm{zahl}+7 &=& 13\\\\
2\cdot \rm{zahl}+7 &=& 13 \\\\
2\cdot \rm{zahl}+7 &=& 13 & \quad | \quad -7\\\\
2\cdot \rm{zahl}+7-7 &=& 13 -7 \\\\
2\cdot \rm{zahl} + 0 &=& 6 \\\\
2\cdot \rm{zahl} &=& 6 \\\\
2\cdot \rm{zahl} &=& 6 & \quad | \quad :2\\\\
\dfrac{\not{2}\cdot \rm{zahl}}{ \not{2} }&=& \dfrac{6}{2} \\\\
\rm{zahl} &=& \dfrac{6}{2} \\\\
\rm{zahl} &=& 3 \\\\
\end{array}
$
}}$$

Deine Zahl ist die 3

Given the equation y=4x-3 , If x increases by 1 unit, what is the corresponding change in y

$$y_1=4x-3\\
y_2=4(x+1)-3\\
y_2=4x+4-3\\
y_2=\underbrace{4x-3}_{=y_1}+4 \\
y_2=y_1+4\\
y_2-y_1=\Delta y = 4$$

 the corresponding change in y is 4

wie viel cm misst ein stock der länge 13 zoll

$$\small{\text{
$1\, \rm{zoll}$
oder auch
$1\, \rm{inch} = 2.54\, \rm{cm}$
}}\\
\small{\text{
$13\, \rm{zoll}$
oder auch
$13\, \rm{inch}$
oder auch
$13 " = 13\cdot 2.54\, \rm{cm} = 33.02\, \rm{cm}$
}}\\$$

0,25x²+x-4=-0,5x+1

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcll}
0,25x^2+x-4 &=& -0,5x+1 & \quad | \quad +0.5x-1\\
0,25x^2+x-4 +0.5x-1&=& 0\\
0,25x^2 +1.5x-5 &=& 0 & \quad | \quad \cdot 4\\
x^2 + 6x -20 &=& 0\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcll}
x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{36}{4}+20} \\
x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{36}{4} +20\cdot\frac{4}{4}} \\
x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{36+80}{4} } \\
x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{116}{4} } \\
x_{1,2} &=& -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\frac{4\cdot 29}{4} } \\
x_{1,2} &=& -3\pm\sqrt{29}\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{l|l}
x_1=-3+\sqrt{29} \quad & \quad x_2 = -3 - \sqrt{29}\\
x_1 = 2.38516480713 \quad & \quad x_2 = -8.38516480713\\
\end{array}
$}}$$

wie kann ich den schnittpunkt von zwei

2 dimensionalen vektoren bestimmen ?

Gegeben:

• Vektor $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$ mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_1$}}$$ und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_2$}}$$.

$$\small{\text{$\vec{v}_1=\vec{P}_2-\vec{P}_1$}}$$

• Vektor $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$ mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_3$}}$$ und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_4$}}$$.

$$\small{\text{$\vec{v}_2=\vec{P}_4-\vec{P}_3$}}$$

Der Schnittpunkt $$\small{\text{$\vec{s}$}}$$ von $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$ mit $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$ ist gesucht.

Der Ansatz:

$$\boxed{\small{\text{$\lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2=\vec{P}_3-\vec{P}_1$. Wobei
$\vec{s}=\vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1= \vec{P}_3+\mu\cdot\vec{v}_2
$ ist.}}}$$.

Wobei $$\small{\text{$\lambda$}}$$ und  $$\small{\text{$\mu$}}$$ gesuchte Skalare sind.

Die Berechnung von $$\small{\text{$\lambda$}}$$:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcll}
\lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2 &=& \vec{P}_3-\vec{P}_1 & \quad | \quad \times \vec{v}_2\\
\lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| - \mu \cdot |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1 \times \vec{v}_2 |
& \quad | \quad |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| = |\vec{v}_1|\cdot |\vec{v}_2|\cdot \sin{(0\ensurement{^{\circ}})} = 0 \\
\lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2|\\
\lambda &=& \dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\vec{s} &=& \vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1\\\\
\vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\cdot\vec{v}_1 \\\\
\vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3) | }{ | (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3)| }\cdot (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \\\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\vec{s} &=& \binom{x_1}{y_1}+\dfrac{
| \binom{x_3-x_1}{y_3-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} |
}{
| \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} |
}\cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\
\binom{s_x}{s_y} &=& \binom{x_1}{y_1}
+ \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) }
{ (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) }
\cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\
\end{array}
$}}$$

$$\boxed{
\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
s_x &=& x_1
+ \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) }
{ (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) }
\cdot (x_2-x_1)\\\\
s_y &=& y_1
+ \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) }
{ (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) }
\cdot (y_2-y_1) \\\\
\end{array}
$}}}$$

A fair coin is flipped 7 times. What is the probability that at least 5 of the flips come up heads?

Flipping coin: we set h = head  and t = tail

After 7 times we have the probabilities:

$$\small{
\begin{array}{c|c|l}
\text{heads} & \text{tails} & \text{probability}\\
\hline
&&\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{7} & 0 & \binom70 \cdot (\frac{1}{2})^7 = \textcolor[rgb]{1,0,0}{1\cdot (\frac{1}{2})^7}\\&& \\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{6} & 1 & \binom71 \cdot (\frac{1}{2})^7= \textcolor[rgb]{1,0,0}{7\cdot (\frac{1}{2})^7}\\&& \\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{5} & 2 & \binom72 \cdot (\frac{1}{2})^7= \textcolor[rgb]{1,0,0}{21\cdot (\frac{1}{2})^7}\\&& \\
4 & 3 & \binom73 \cdot (\frac{1}{2})^7= 35\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\
3 & 4 & \binom74 \cdot (\frac{1}{2})^7= 35\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\
2 & 5 & \binom75 \cdot (\frac{1}{2})^7= 21\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\
1 & 6 & \binom76 \cdot (\frac{1}{2})^7= 7\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\
0 & 7 & \binom77 \cdot (\frac{1}{2})^7= 1\cdot (\frac{1}{2})^7\\&& \\
\hline
\end{array}
}$$

The probabiliies of getting 7 heads and 6 heads and 5 heads is:

$$\small{\text{
$
\textcolor[rgb]{1,0,0}{1\cdot (\frac{1}{2})^7} + \textcolor[rgb]{1,0,0}{7\cdot (\frac{1}{2})^7}
+\textcolor[rgb]{1,0,0}{21\cdot (\frac{1}{2})^7}
=(1+7+21)\cdot (\frac{1}{2})^7
=29\cdot (\frac{1}{2})^7
= 29 \cdot 0.00781250000$}}\\
\small{\text{
$
=0.22656250000
=22.66\%
$
}}$$

MATHE IST SINNLOS ?!?

The diameter of a circle is 1. What is the area of the circle ?

$$\small{\text{Diameter $\,d = 1 $}}$$   

$$\small{\text{Radius $\,r= \frac{d}{2} = \frac{1}{2} $}}$$

$$\small{\text{Area $\,A=\pi\cdot r^2 $}}\\
\small{\text{$A=\pi\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$}}\\
\small{\text{$A=\frac{\pi}{4}$}}\\
\small{\text{$A=\frac{3.14159265359}{4}$}}\\
\small{\text{$A=0.78539816340$}}
$}}$$