Für eine Bohrmaschine soll ein Rühraufsatz entworfen werden, der aus einem rechteckigen Metallrahmen mit 30cm Umfang besteht. Wie müssen Länge x und Breite y des Rechtecks gewählt werden, wenn beim Rühren ein maximales Volumen umschlossen werden soll.Ich habe schon V=r²*pi*h Als Hauptbedingung und 4r+2h=U als Nebenbedingung kann aber keinen für mich logischen zusammenhang herstellen.
I.
$$\\\boxed{U=2x+2y }\quad | \quad -2x \\\\
2y=U-2x \quad | \quad :2 \\\\
\boxed{ y=\dfrac{U-2x}{2} }$$
II.
$$V=\pi\cdot r^2\cdot h \qquad r=\frac{x}{2} \qquad h = y \\\\
V=\pi \cdot \dfrac{x^2}{4} \cdot y \\
V(x) = \pi \cdot \dfrac{x^2}{4} \cdot \left( \dfrac{U-2x}{2} \right)\\\\
\boxed{ V(x) = \dfrac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot \left( U-2x \right) }\\\\
V(x) = \dfrac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \dfrac{\pi}{8}\cdot 2 \cdot x^3\\\\
V'(x) = \dfrac{\pi}{8} \cdot 2\cdot x \cdot U -\dfrac{\pi}{8}\cdot 2 \cdot 3 \cdot x^2$$
V'(x) wird 0 gesetzt:
$$V'(x) = \dfrac{\pi}{4}
\left( x \cdot U - 3 \cdot x^2 \right) = 0 \\\\
x \cdot U - 3 \cdot x^2 = 0 \\\\
3 \cdot x^2 = x \cdot U\\\\
3 \cdot x = U\\\\
\boxed{x = \dfrac{U}{3}} \qquad U=30\ \rm{cm} \\\\
x= \dfrac{30}{3} \ \rm{cm} \\\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{x= 10\ \rm{cm}}$$
$$\boxed{ y=\dfrac{U-2x}{2} } \\\\
y=\dfrac{30-2\cdot 10}{2} \ \rm{cm} = (15 - 10) \ \rm{cm}\\\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{y= 5 \ \rm{cm}}$$
.
